xin hay nhất

a, BD⊥AC (gt) ⇒ $\widehat{BDA}=\widehat{BDC}=90°$

CE⊥AB (gt) ⇒ $\widehat{CEA}=\widehat{CEB}=90°$

Có $\widehat{BDC}=\widehat{CEB}=90°$

⇒Hai điểm D và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm D và E cùng thuộc đường tròn đường kính BC

⇒ Bốn điểm D, E, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

⇒ Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC

b, Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒$\widehat{DEB}+\widehat{DCB}=180°$ (hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Hay $\widehat{DEB}+\widehat{ACB}=180°$

mà $\widehat{DEA}+\widehat{DEB}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$

c, Gọi tiếp tuyến tại A với (O) là Ax

Xét (O) có:

$\widehat{xAB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB)

$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AB}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AB}$)

⇒ $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{DEA}=\widehat{ACB}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DEA}=\widehat{xAB}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong do AE cắt DE và Ax

⇒ DE//Ax

d, Xét (O) có: Ax là tiếp tuyến, A là tiếp điểm

⇒ OA⊥Ax

mà DE//Ax (cmt)
⇒ OA⊥DE (từ vuông góc đến song song) Hay OA⊥MN

Xét ΔOMN có: OM=ON=R

⇒ ΔOMN cân tại O

mà OA là đường cao của tam giác (OA⊥MN)

⇒ OA là phân giác $\widehat{MON}$ có

⇒ $\widehat{AOM}=\widehat{AON}$

Xét ΔAOM và ΔAON có:

OA: cạnh chung

$\widehat{AOM}=\widehat{AON}$ (cmt)

OM=ON=R

⇒ ΔAOM=ΔAON (c.g.c)

⇒ AM=AN (hai cạnh tương ứng)

⇒ $\overparen{AM}=\overparen{AN}$ (quan hệ giữa cung và dây căng cung)

Xét (O) có: 

$\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AM}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AM}$)

$\widehat{AMN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AB}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AN}$)

$\overparen{AM}=\overparen{AN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{AMN}$ Hay $\widehat{ABM}=\widehat{AME}$

Xét ΔAME và ΔABM có:

$\widehat{MAB}$ : góc chung

$\widehat{AME}=\widehat{ABM}$ (cmt)

⇒ ΔAME~ΔABM (cmt)

⇒ $\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AM}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AM²=AE.AB