Ta có tam giác OAM và tam giác BON cân tại O có góc ở đỉnh O=45độ

=> OA=OM=a;OB=ON=b và góc MOA=góc NOB=45 độ

=>Góc AOB=180-45-45=90 độ

ta có OM+ON=MN=4

=>a+b=4

=>b=4-a

Xét tam giác AOB vuông tại O có:

Áp dụng định lý Pytago:

Dấu = xảy ra<=> a-2=0<=>a=2

Hay OM=2(cm)

=>ON=4-2=2(cm)

=>O là trung điểm của MN

Vậy để ABmin=8 thì O là trung điêm của MN

`* ΔOAM` và  `ΔBON` cân tại `O`

$\widehat{O} = 45^o$

$\begin{cases} OA = OM = a\\OB=ON=b\\\widehat{MOA} = \widehat{NOB} = 45^o \end{cases}$

`=>` $\widehat{AOB} = 180^o - (45^o + 45^o)$

$\widehat{AOB} = 180^o - 90$

$\widehat{AOB} = 90^o$

`*` Có:

`OM + ON = MN = 4`

`=> a + b = 4`

`b = 4 - a`

Xét `ΔAOB` vuông tại `O`:

Áp dụng định lí py-ta-go:

`*` Dấu bằng xảy ra khi:

`a - 2 = 0 `  hay `OM = 2` (cm)

`a = 0 + 2` hay `ON = 4 - 2`

`a = 2` hay `ON = 2` (cm)

`=> O` là trung điểm của `MN` 

Vậy `ABmin = 8` thì `O` là trung điểm của `MN`