`a)` Xét $∆ABM$ và $∆ACM$ có:

`\quad AM` là cạnh chung 

`\quad AB=AC` (do $∆ABC$ cân tại $A$)

`\quad BM=CM` (do $M$ là trung điểm $BC$)

`=>∆ABM=∆ACM` (c-c-c)

`=>\hat{AMB}=\hat{AMC}` (hai góc tương ứng)

Mà `\hat{AMB}+\hat{AMC}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{AMB}+\hat{AMB}=180°`

`=>2\hat{AMB}=180°`

`=>\hat{AMB}=90°` 

`=>AM`$\perp BC$ 

$\\$

`b)` `∆ABM=∆ACM` (câu a)

`=>\hat{BAM}=\hat{CAM}` (hai góc tương ứng)

`=>\hat{EAM}=\hat{FAM}`

 Xét $∆AME$ và $∆AMF$ có:

`\quad \hat{AEM}=\hat{AFM}=90°`

`\quad AM` là cạnh chung 

`\quad \hat{EAM}=\hat{FAM}` (c/m trên)

`=>∆AME=∆AMF` (ch-gn)

`=>AE=AF` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆AEF` cân tại $A$

`\qquad ME=MF` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆MEF` cân tại $M$ 

$\\$

`c)` $∆AEF$ cân tại $A$ (câu b)

`=>\hat{AEF}={180°-\hat{EAF}}/2={180°-\hat{BAC}}/2`

$∆ABC$ cân tại $A$

`=>\hat{ABC}={180°-\hat{BAC}}/2`

`=>\hat{AEF}=\hat{ABC}`

Mà `\hat{AEF};\hat{ABC}` ở vị trí đồng vị

`=>EF`//$BC$ 

$\\$

`d)` Xét $∆AEI$ và $∆AFI$ có:

`\quad AI` là cạnh chung 

`\quad AE=AF` (đã c/m câu b)

`\quad IE=IF` (do $I$ là trung điểm $EF$)

`=>∆AEI=∆AFI` (c-c-c)

`=>\hat{AIE}=\hat{AIF}` (hai góc tương ứng)

Mà `\hat{AIE}+\hat{AIF}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{AIE}+\hat{AIE}=180°`

`=>2\hat{AIE}=180°`

`=>\hat{AIE}=90°` 

`=>AI`$\perp EF$ 

$\\$

Mà $EF$//$BC$ (câu c)

`=>AI`$\perp BC$

Ta lại có: $AM\perp BC$ (câu a)

`=>A;I;M` thẳng hàng.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a) Vì ΔABC cân tại A (gt) 

⇒  AB=AC (1)

⇒ ∠B=∠C (t/c Δ cân) (2)

Xét ΔABM và ΔACM có: AB=AC (theo 1)

                                        MB=MC (gt)

                                        AM chung

⇒ ΔABM=ΔACM (c.c.c)

⇒ ∠AMB=∠AMC (2 góc tương ứng)

mà ∠AMB+∠AMC=180 độ (2 góc kề bù) 

⇒ ∠AMB=∠AMC=$\frac{180 độ}{2}$=90 độ

⇒ AM⊥BC tại M

b) Vì ME⊥AB (gt)

⇒ ∠MEA=∠MEB=90 độ 

⇒ ΔMEA và ΔMEB vuông tại E

    Vì MF⊥AC (gt)

⇒ ∠MFA=∠MFC=90 độ

⇒ ΔMFA và ΔMFC vuông tại F

Xét ΔMEB vuông tại E và ΔMFC vuông tại F có:

                      MB=MC (gt)

                    ∠B=∠C (theo 2)

⇒ ΔMEB=ΔMFC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ ME=MF (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔMEF cân tại M

⇒ BE=CF (2 cạnh tương ứng)

Có AB=AE+BE

     AC=AF+CF

Mà AB=AB (theo 1), BE=CF (cmt) 

⇒ AE=AF ⇒ ΔAEF cân tại A

Chúc bạn học tốt nha !!!