a, 

Vì `\triangleABC` vuông tại `A` `=>` $\widehat{BAC}$ = `90^o` hay $\widehat{BAM}$ = `90^o`

Vì `MD \bot BC` `=>` $\widehat{BDM}$ = `90^o`

Xét `\triangleBAM` và `\triangleBDM` , ta có :

$\widehat{BAM}$ = $\widehat{BDM}$ = `90^o`

`BM` cạnh chung

$\widehat{ABM}$ = $\widehat{DBM}$ ( `BM` phân giác $\widehat{B}$)

`=>` `\triangleBAM` = `\triangleBDM` `(ch-gn)`

`=> BA = BD` ( hai cạnh tương ứng)

Ta có : `BA = BD` `=>` `\triangleBAD` cân tại `B`

Ta có : 

cân tại `B`

`BM` phân giác $\widehat{B}$

`=> BM` đồng thời là đường cao của `\triangleBAD`   ( tính chất tam giác cân )

`=> BM \bot AD`

b,

Xét `\triangleABC` vuông tại `A`, ta có :

$\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = `90^o` ( hai góc phụ nhau)

`=>` `60^o` + $\widehat{C}$ = `90^o`

`=>` $\widehat{C}$ = `30^o` `(1)`

Ta có :

`BM` phân giác $\widehat{B}$

`=>` $\widehat{MBC}$ = $\widehat{B}$ : 2 = `60^o :2` = `30^o` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>` $\widehat{C}$ = $\widehat{MBC}$( `=30^o`)

`=>` `\triangleMBC` cân tại `M`

Vì `MD \bot BC` `=>` `MD` là đường cao của `\triangleMBC` cân tại `M`

Ta có : 

`\triangleMBC` cân tại `M` 

`MD` là đường cao của `\triangleMBC` cân tại `M`

`=>MD` đồng thời là đường trung tuyến của `\triangleMBC`

`=> D` trung điểm `BC`

`=> DB = DC`

c,

Vì `\triangleMBC` cân tại `M` 

`=> BM = MC` ( hai cạnh bên) `(3)`

Xét `\triangleBAM` vuông tại `A` , ta có :

`BM > AB` ( qh giữa đường xiên và đường vuông góc) `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` 

`=> MC > AB`

d,

Vì `BA \bot AC`  ($\widehat{BAC}$ = `90^o`) hay `BA \bot MC` ( `M \in AC` `=>` `BA` là đường cao của `\triangleMBC` 

Vì `CE \bot BM` `=>` `CE` là đường cao của `\triangleMBC` 

Ta có :

`MD` là đường cao của `\triangleMBC` 

`BA` là đường cao của `\triangleMBC` 

`CE` là đường cao của `\triangleMBC` 

`=>` ba đường thẳng `EC , BA , MD` cùng đi qua một điểm và điểm đó gọi là trực tâm của `\triangleMBC` 

@UCKSWT