$1)\quad f(z) = \dfrac{e^z}{z^3}$

có $1$ điểm bất thường cô lập $z = 0$

Xét $f(z) = \dfrac{g(z)}{z^3};\ g(z) = e^z$

Ta có: $g(0) \ne 0$

$g(z)$ giải tích trong lân cận của $0$

Do đó $z =0$ là cực điểm cấp $3$ của $f(z)$

$2)\quad f(z) = e^{\dfrac{1}{2z}}$

có `1` điểm bất thường cô lập $z = 0$

Ta có:

$f(z) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!.2^n.z^n}$

Phần chính $f_1(z) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!.2^n.z^n}$ có vô hạn số hạng

Do đó $z =0$ là điểm bất thường cốt yếu

$3)\quad f(z) = \dfrac{z+1}{z^2 + 4} = \dfrac{z+1}{(z - 2i)(z+2i)}$

có `2` điểm bất thường cô lập $z = 2i$ và $z = -2i$

Xét $f(z) = \dfrac{g(z)}{z - 2i};\ g(z) = \dfrac{z+1}{z+2i}$

Ta có: $g(2i) \ne 0$

$g(z)$ giải tích trong lân cận của $2i$

Do đó $z = 2i$ là cực điểm đơn của $f(z)$

Hoàn toàn tương tự, ta được:

$z = -2i$ là cực điểm đơn của $f(z)$

$4)\quad f(z) = \dfrac{\sin z}{(z^2 + 1)^3} = \dfrac{\sin z}{(z - i)^3(z + i)^3}$

có `2` điểm bất thường cô lập $z = i$ và $z = -i$

Xét $f(z) = \dfrac{g(z)}{(z - i)^3};\ g(z) = \dfrac{\sin z}{(z + i)^3}$

Ta có: $g(i)\ne 0$

$g(z)$ giải tích trong lân cận của $i$

Do đó $z = i$ là cực điểm cấp `3` của $f(z)$

Hoàn toàn tương tự, ta được:

$z = - i$ là cực điểm cấp `3` của $f(z)$