a)

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ và $\Delta ACH$ vuông tại $H$, ta có:

+   $AH$ là cạnh chung

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \Delta ABH=\Delta ACH\left( ch-cgv \right)$

b)

Vì $\Delta ABH=\Delta ACH\left( cmt \right)$

$\to BH=CH$ (hai cạnh tương ứng)

$\to H$ là trung điểm $BC$

$\to BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$

$\to A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}$

$\to A{{H}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}$

$\to A{{H}^{2}}=64$

$\to AH=8cm$

c)

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ và $\Delta ICH$ vuông tại $H$, ta có:

+    $CH$ là cạnh chung

+   $AH=IH$ (vì $H$ là trung điểm $AI$)

$\to \Delta ACH=\Delta ICH\left( cgv-cgv \right)$

$\to AC=IC$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta AIC$ cân tại $C$

d)

Ta có $MB=BC\left( gt \right)$

Mà $BC=2BH$ (vì $H$ là trung điểm $BC$)

$\to MB=2BH$

Xét $\Delta AMI$, ta có:

+   $MH$ là đường trung tuyến

+   $MB=2BH\left( cmt \right)$

$\to B$ là trọng tâm của $\Delta AMI$

$\to AB$ đi qua trung điểm $MI$

Mà $AB$ cắt $MI$ tại $N$

Nên $N$ là trung điểm $MI$