a)

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \widehat{DBH}=\widehat{ECK}$ (hai góc đối đỉnh tương ứng bằng nhau)

Và $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$ (hai góc kề bù tương ứng bằng nhau)

Xét $\Delta DBH$ vuông tại $H$ và $\Delta ECK$ vuông tại $K$, ta có:

+   $BD=CE\left( gt \right)$

+   $\widehat{DBH}=\widehat{ECK}\left( cmt \right)$

$\to \Delta DBH=\Delta ECK\left( ch-gn \right)$

$\to HB=KC$ (hai cạnh tương ứng)

b)

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACK$, ta có:

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

+   $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\left( cmt \right)$

+   $HB=KC\left( cmt \right)$

$\to \Delta ABH=\Delta ACK\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{AHB}=\widehat{AKC}$ (hai góc tương ứng)

c)

Vì $AB=AC$ và $BD=CE$

$\to AD=AE$

$\to \Delta ADE$ cân tại $A$

$\to \widehat{ADE}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to HK//DE$

d)

Vì $\Delta ABH=\Delta ACK\left( cmt \right)$

$\to \widehat{BAH}=\widehat{CAK}$ (hai góc tương ứng)

$\to \widehat{BAH}+\widehat{BAC}=\widehat{CAK}+\widehat{BAC}$

$\to \widehat{HAE}=\widehat{KAD}$

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AKD$, ta có:

+   $AE=AD\left( cmt \right)$

+   $\widehat{HAE}=\widehat{KAD}\left( cmt \right)$

+   $AH=AK$ (vì $\Delta ABH=\Delta ACK$)

$\to \Delta AHE=\Delta AKD\left( c.g.c \right)$

e)

Xét $\Delta IHD$ và $\Delta IEK$, ta có:

+   $\widehat{IHD}=\widehat{IEK}$ (hai góc so le trong)

+   $HD=EK$ (vì $\Delta DBH=\Delta ECK$)

+   $\widehat{IDH}=\widehat{IKE}$ (hai góc so le trong)

$\to \Delta IHD=\Delta IEK\left( g.c.g \right)$

$\to IH=IE$ và $ID=IK$

$\to I$ là trung điểm $DK,EH$

$\to IH=\dfrac{1}{2}EH$ và $IK=\dfrac{1}{2}DK$

Mà do $EH=DK$ (vì $\Delta AHE=\Delta AKD$)

$\to IH=IK$

Mà $AH=AK\left( cmt \right)$

$\to AI$ là đường trung trực của $HK$

$\to AI\bot HK$

$\to AI\bot DE$