Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BDchung\\
\widehat {ABD} = \widehat {EBD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\\
BA = BE
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD\left( {c.g.c} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD = \Delta EBD\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {DEB} = \widehat {DAB} = {90^0}\\
 \Rightarrow DE \bot BC = E
\end{array}$

c) Ta có:

$\Delta ABD = \Delta EBD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AD = ED\left( 1 \right)$

Lại có:

$\Delta CDE;\widehat {CED} = {90^0}$

$ \Rightarrow CD > DE\left( 2 \right)$ (Quy tắc đường xiên - đường vuông góc)

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow CD > AD$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};\widehat C = {30^0}\\
 \Rightarrow \widehat B = {90^0} - \widehat C = {60^0}
\end{array}$

Xét $\Delta ABE;BA = BE;\widehat B = {60^0}$

$ \Rightarrow \Delta ABE$ đều.

Lại có:

$\Delta ABE$ đều 

$ \Rightarrow \widehat {EAB} = {60^0}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {EAC} = \widehat A - \widehat {EAB} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\\
 \Rightarrow \widehat {EAC} = \widehat {ECA} = {30^0}
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta AEC$ cân ở $E$

e) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {FEB} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
BE = BA\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta FEB = \Delta CAB\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow BF = BC
\end{array}$

Xét $\Delta CBF$ có $BF = BC$ và $\widehat {CBF} = {60^0}$

$ \Rightarrow \Delta CBF$ đều

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {BFC} = {60^0}\\
 \Rightarrow \widehat {BFC} = \widehat {BAE} = {60^0}\\
 \Rightarrow AE//CF
\end{array}$

f) Ta có:

$\Delta AEC$ cân ở $E$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow EA = EC\\
 \Rightarrow EA = EC = EB = AB = 5cm\\
 \Rightarrow BC = EC + EB = 10cm
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow EA = EC\\
 \Rightarrow EA = EC = EB = AB = 5cm\\
 \Rightarrow BC = EC + EB = 10cm
\end{array}$

Vậy $AC = 5\sqrt 3 cm;BC = 10cm$