`GT :`  $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$

          Tia đối $BA$ lấy $D$ 

          Tia đối $CA$ lấy $E$ sao cho $BD = CE$

          $DH ; EK$ $\bot$ $BC$

          $DK$ $\cap$ $EH$ tại $I$
$KL :$ `a) HB = CD`

           `b)` $\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AKC}$ 

           $c) HK // DE$

           $d)$ $\triangle$ $AHE$ $=$ $\triangle$ $AKD

           $e)$ $AI$ $\bot$ $DE$ 

`a)` Ta có $:$ $\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{B2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

$\widehat{C1}$ $=$ $\widehat{C2}$ $( 2$ góc đối đỉnh $)$

Mà $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{C2} ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

`=>` $\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{C1}$

Xét $\triangle$ $BHD$ và $\triangle$ $CKE$ ta có $:$

$\widehat{DHB}$ $=$ $\widehat{EKC}$ $= 90^o ( DH$ $\bot$ $BC ; EK$ $\bot$ $BC )$
$BD = CE ( gt )$
$\widehat{B1}$ $=$ $\widehat{C1}$ $( cmt )$

`=>` $\triangle$ $BHD$ $=$ $\triangle$ $CKE ( ch - gn )$

`=> HB = CK ( 2` cạnh tương ứng $)$

`b)` Ta có $:$ $\widehat{B2}$ $+$ $\widehat{B3}$ $= 180^o ( 2$ góc kề bù $)$

$\widehat{C2}$ $+$ $\widehat{C3}$ $= 180^o ( 2$ góc kề bù $)$

Mà $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{C2} ( cmt )$

`=>` $\widehat{C3}$ $=$ $\widehat{B3}$

Xét $\triangle$ $ABH$ và $\triangle$ $ACK$ ta có $:$

$AB = AC ($ vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A )$

$\widehat{C3}$ $=$ $\widehat{B3} ( cmt )$

$HB = CK ( cmt )$

`=>` $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACK ( c - g - c )$

`=>` $\widehat{AHB}$ $=$ $\widehat{AKC}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`c)` Ta có $: AB + BD = AD$

$AC + CE = AE$

Mà $AB = AC ( cmt )$

$BD = CE ( gt )$

`=> AD = AE`

`=>` $\triangle$ $ADE$ cân tại $A ( dhnb )$

`=>` $\widehat{ADE}$ `= ( 180 - \hat{BAC} )/2 (` tính chất $\triangle$ cân $) (1)$

Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A ( gt )$

`=>` $\widehat{B2}$ `= ( 180 - \hat{BAC} )/2 (` tính chất $\triangle$ cân $) (2)$

Từ $(1) ; (2)$

`=>`  $\widehat{B2}$ $=$ $\widehat{ADE}$ `( = ( 180 - \hat{BAC} )/2 )`

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

`=>` $BC // DE ( dhnb )$

Hay $HK // DE$

`d)` Ta có $:$ $\widehat{A1}$ $+$ $\widehat{BAC}$ $=$ $\widehat{HAC}$

$\widehat{A2}$ $+$ $\widehat{BAC}$ $=$ $\widehat{KAB}$

Mà $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A2} ($ vì $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACK )$

$\widehat{BAC}$ chung

`=>` $\widehat{HAC}$ $=$ $\widehat{KAB}$

Xét $\triangle$ $AHE$ và $\triangle$ $AKD$ ta có $:$

$AH = AK ($ vì $\triangle$ $ABH$ $=$ $\triangle$ $ACK )$

$\widehat{HAC}$ $=$ $\widehat{KAB}$

$AE = AD ($ vì $\triangle$ $ADE$ cân tại $A )$

`=>` $\triangle$ $AHE$ $=$ $\triangle$ $AKD ( c - g - c )$

`e)` Xét $\triangle$ $DHK$ và $\triangle$ $EKH$ ta có $:$

$\widehat{DHK}$ $=$ $\widehat{EKH}$ $ (DH$ $\bot$ $BC ; EK$ $\bot$ $BC )$

$HK$ chung

$DH = EK ($ vì $\triangle$ $BHD$ $=$ $\triangle$ $CKE )$

`=>` $\triangle$ $DHK$ $=$ $\triangle$ $EKH ( cgv - cgv )$

`=>` $\widehat{H1}$ $=$ $\widehat{K1}$ $( 2$ góc tương ứng $)$

`=>` $\triangle$  $IHK$ cân tại $I ( dhnb )$

Xét $\triangle$  $AIH$ và $\triangle$  $AIK$ ta có $:$

$AI$ chung

$IH = IK ($ vì $\triangle$  $IHK$ cân tại $I )$

$AH = AK ( cmt )$

`=>` $\triangle$  $AIH$ $=$ $\triangle$  $AIK ( c - c - c )$

Ta có $:$ $\widehat{A1}$ $+$ $\widehat{A3}$ $=$ $\widehat{HAI}$ 

$\widehat{A2}$ $+$ $\widehat{A4}$ $=$ $\widehat{KAI}$

Mà $\widehat{A1}$ $=$ $\widehat{A4}$ 

$\widehat{HAI}$  $=$ $\widehat{KAI}$

`=>` $\widehat{A3}$ $=$ $\widehat{A4}$

`=> AI` là tia phân giác của $\widehat{DAE}$

Mà  $\triangle$ $ADE$ cân tại $A ( cmt )$

`=> AI` đồng thời là đương cao của $\triangle$ $ADE ($ tính chất $\triangle$ cân $)$

`=> AI` $\bot$ $DE$