Đáp án:

a) I là trung điểm của BC nên IB = IC = 3cm

Xét ΔABI và ΔACI có:

+ AB = AC
+ BI = CI

+ AI chung

=> ΔABI = ΔACI (c-c-c)

=> góc AIB = góc AIC = 90 độ

=> AI vuông góc với BC

Trong ΔAIB vuông tại I, theo Pytago:

$\begin{array}{l}
A{B^2} = A{I^2} + B{I^2}\\
 = {4^2} + {3^2} = 25\\
 \Rightarrow AB = 5\left( {cm} \right)
\end{array}$

b) Xét ΔIHB và ΔIKC vuông tại H và K có:

+ góc B = góc C

+ BI = CI

=> ΔIHB = ΔIKC (ch-gn)

c) Do ΔIHB = ΔIKC nên BH = CK

=> AH = AK

Xét ΔAKE và ΔAHF vuông tại H và K có:

+ AK = AH

+ góc A chung

=> ΔAKE = ΔAHF (cg-gn)

=> AE = AF
=> ΔAEF cân tại A

d) ΔAEF cân tại A nên:

$\widehat {AEF} = \widehat {AFE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$

Lại có AH = AK

=> tam giác AHK cân tại A

=> $\widehat {AHK} = \widehat {AKH} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$

=> góc AHK = góc AEF

=> HK//EF (do có 2 góc đồng vị bằng nhau)