Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta MBD,\Delta NCE$ có:

$\widehat{MBD}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{NCE}$

$BD=CE$

$\widehat{MDB}=\widehat{CEN}(=90^o)$

$\to \Delta MBD=\Delta NCE(g.c.g)$

2.Từ câu 1 $\to DM=CE$

Xét $\Delta IMD,\Delta INE$ có:

$\widehat{IMD}=\widehat{INE}$ vì $MD//NE(\perp BC)$

$MD=NE$

$\widehat{IDM}=\widehat{IEN}(=90^o)$

$\to \Delta IDM=\Delta IEN(g.c.g)$

$\to IM=IN$

$\to I$ là trung điểm $MN$

3.Qua $B$ kẻ $BF\perp AB,$ qua $C$ kẻ $CF\perp AC$

Vì $A,B,C$ cố định $\to F$ cố định

$\to FB^2=FA^2-AB^2=FA^2-AC^2=FC^2$

$\to FB=FC$

Từ câu 1 $\to BM=CN$

Xét $\Delta FBM,\Delta FCN$ có:

$FB=FC$

$\widehat{FBM}=\widehat{FCN}(=90^o)$

$BM=NC$

$\to \Delta FBM=\Delta FCN(c.g.c)$

$\to FM=FN$

$\to F\in$ trung trực $MN$

Vì $I$ là trung điểm $MN\to $đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $MN$ là trung trực $MN$

$\to $Đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $I$ luôn đi qua $F$ cố định khi $D$ thay đổi trên $BC$