Đáp án:

 Giải thích các bước giải:

 `a)` Áp dụng định lí $Pitago$ `ΔNMK` vuông tại `M` có:

`MN^2 + MK^2 = NK^2`

Thay số: `9^2 + 12^2 =NK^2`

`<=> 81 + 144 = NK^2`

`<=> 225 = NK^2`

`<=> NK = 15(cm)` (vì `NK>0`)

Vậy `NK=15cm.`

`b) ` Ta có: `MN=MI` `(M∈NI)`

`=>M` là trung điểm của `NI.`

`=> KM` là trung tuyến của tam giác `NKI`

Lại có: `KM⊥NI` (do `ΔNMK` vuông tại `M`)

Xét `NKI` có: `KM` vừa là đường trung tuyến, vừa đường phân giác

`=>ΔNKI` cân tại `K.`

`c)` Ta có: `ΔNKI` cân tại `K`

Lại có: `KM` là đường cao của `ΔNKI`

`=> KM` là đường phân giác của `ΔNKI`

`<=>hat{AKM}=hat{BKM}`

Xét `ΔAMK` và `ΔBMK` có:

`hat{AKM}=hat{BKM}(cmt)`

`hat{MAK}=hat{MBK}=90^0` (vì `MA⊥NK, MB⊥IK`)

`MK` là cạnh chung

`=>ΔAMK=ΔBMK` (cạnh huyền - góc nhọn)

Vậy `ΔAMK=ΔBMK.`

`d)` Ta có: `ΔAMK=ΔBMK(cmt)`

`=>AK=BK` (hai cạnh tương ứng)

`=> ΔKAB` cân tại `K.`

`=>hat{KAB}=hat{KBA}= { 180^0 - hat{AKB}}/2` `(1)`

Lại có: `ΔNKI` cân tại `K`

`=>hat{KNI}=hat{KIN}= { 180^0 - hat{NKI}}/2` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>`$\quad \begin{cases} \widehat{KAB}=\widehat{KNI}\quad\\\widehat{KBA}=\widehat{KIN}\quad\end{cases}$

Mà `hat{KAB}, hat{KNI}` là hai góc ở vị trí đồng vị

Tương tự: `hat{KBA},hat{KIN}` là hai góc ở vị trí đồng vị

`=>` $AB//IN$

Vậy $AB//IN.$

Hình tham khảo

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta MNK$ vuông tại $M$

$\to NK^2=MN^2+MK^2=225$

$\to NK=15$

b.Xét $\Delta KMN,\Delta KMI$ có:

Chung $KM$

$\widehat{NMK}=\widehat{IMK}=90^o$ vì $KM\perp NI$

$MN=MI$

$\to\Delta KMN=\Delta KMI(c.g.c)$

$\to \Delta KMN=\Delta KMI(c.g.c)$

$\to KN=KI$

$\to\Delta KNI$ cân tại $K$

c.Từ câu b

$\to \widehat{MKN}=\widehat{MKI}$

$\to \widehat{MKA}=\widehat{MKB}$

Xét $\Delta MAK,\Delta MBK$ có:

$\widehat{MAK}=\widehat{MBK}=90^o$

Chung $MK$

$\widehat{MKA}=\widehat{MKB}$

$\to \Delta AMK=\Delta BMK$(cạnh huyền-góc nhọn)

d.Từ câu $c\to KA=KB$

$\to\Delta KAB$ cân tại $K$

Mà $\Delta KNI$ cân tại $K$

$\to \widehat{KAB}=90^o-\dfrac12\widehat{AKB}=90^o-\dfrac12\widehat{NKI}=\widehat{INK}$

$\to AB//NI$