Gợi ý:

a,

+) $\Delta ACB$ cân tại $C$

$\to AC=CB\to \mathop{AmC}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{BnC}\limits^{\displaystyle\frown}\to \widehat{PNQ}=\widehat{QDP}$

$\to PQDN$ nội tiếp.

$\to \widehat{DQP}+\widehat{DNP}=180^o\to \widehat{DQP}=180^o-90^o=90^o$

($\widehat{DNC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\to \widehat{DNP}=90^o$)

$\to DC\bot PQ$ mà $DC\bot AB\to AB//PQ$

b,

+) $\Delta AOC$ vuông cân tại $O\to \widehat{A_1}=\widehat{C_1}=45^o$

+) $\widehat{CAQ}=\mathop{NBC}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{BhN}\limits^{\displaystyle\frown}+\mathop{BnC}\limits^{\displaystyle\frown}, \widehat{AMC}=\mathop{BhN}\limits^{\displaystyle\frown}+\mathop{BnC}\limits^{\displaystyle\frown}\to \widehat{CAQ}=\widehat{AMC}$

+) $\Delta CAQ$ và $\Delta AMC$ có:

$\widehat{CAQ}=\widehat{AMC},\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$

$\to \Delta CAQ\backsim\Delta AMC$(g.g)

$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{CQ}\to AM.CQ=AC.AC=AC^2$

+) $\Delta AOC$ vuông cân tại $O$ theo Pytago:

$2OC^2=AC^2\to AC^2=2R^2\to AM.CQ=2R^2$

+) $S_{ACQ}=\dfrac{1}{2}.AO.CQ,S_{CMQ}=\dfrac{1}{2}.MO.CQ\to S_{ACMQ}=\dfrac{1}{2}.CQ.AM=\dfrac{1}{2}.2R^2=R^2$

$\to S_{ACMQ}$ không đổi.

c,

+) $\Delta CAQ\backsim\Delta AMC\to \dfrac{CQ}{AM}=\left(\dfrac{AQ}{CM}\right)^2$

+) $\Delta COM$ và $\Delta CND$ có:

$\widehat{C}$ chung, $\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^o$

$\to\Delta COM\backsim\Delta CND$(g.g)

$\to \dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CO}{CN}\to CM.CN=CD.CO=2R^2$

Tương tự: $AN.AQ=2R^2$
$\to CM.CN=AN.AQ\to \dfrac{AQ}{CM}=\dfrac{CN}{AN}\to\dfrac{CQ}{AM}=\left(\dfrac{CN}{AN}\right)^2$

d,

+) $NQ$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta CPQ$ khi đó:

$\widehat{NQP}=\widehat{PCQ}=\dfrac{1}{2}\mathop{PQ}\limits^{\displaystyle\frown}$

+) $PQDN$ nội tiếp. $\to \widehat{PQN}=\widehat{PDN}$

$\to \widehat{BCN}=\widehat{PDN}$(Chắn $\mathop{BhN}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\to \widehat{DCN}=\widehat{BCN}$

$\to CM$ là phân giác trong của $\Delta BOC$.

$\to \dfrac{OM}{BM}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{R}{\sqrt{2}R}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\to \dfrac{OM}{1}=\dfrac{BM}{\sqrt{2}}=\dfrac{R}{1+\sqrt{2}}\to OM=\dfrac{R}{1+\sqrt{2}}, BM=\dfrac{\sqrt{2}R}{1+\sqrt{2}}$

$M\in OB$ và $OM=\dfrac{R}{1+\sqrt{2}}$ thì $NQ$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CPQ$