Đáp án:

a) Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$\begin{array}{l}BC^2=AB^2+AC^2\\\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\\\Rightarrow BC=\sqrt{16^2+12^2}\\\Rightarrow BC=\sqrt{400}\\\Rightarrow BC=20cm\end{array}$

b) $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AC\,\bot\, AB\Rightarrow BC\,\bot\,AB$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta ACD$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AD\,\rm(gt)\\\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=90^\circ\\AC\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABC=\Delta ACD\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

$\Rightarrow BC=CD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác $\Delta CEB$ và $\Delta CED$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}BC=CD\,\rm(cmt)\\\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\,\rm(cmt)\\EC\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta CEB=\Delta CED\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

c) $AE+EC=AC\Rightarrow 4+EC=12\Rightarrow EC=8cm$

$\dfrac {CE}{AC}=\dfrac8{12}=\dfrac23$

$AB=AD\Rightarrow A$ là trung điểm của $BD$.

$\Rightarrow AC$ là đường trung tuyến của $\Delta BCD$.

Mà $E\in AC$ với $\dfrac{CE}{AC}=\dfrac23$ nên $E$ là trọng tâm của $\Delta BCD$.

$\Rightarrow DE$ cắt $BC$ tại $K$

$\Rightarrow DE$ đi qua trọng tâm $E$

$\Rightarrow DK$ đi qua trung điểm của $BC$

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $BC$.