c)

Câu b chứng minh $DB$ là tia phân giác $\widehat{EDF}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$FA$ là tia phân giác $\widehat{EFD}$

$EC$ là tia phân giác $\widehat{FED}$

$AEHD$ nội tiếp

$\to \widehat{HAD}=\widehat{HED}$

Mà $\widehat{HEF}=\widehat{HED}$

$\to \widehat{HEF}=\widehat{HAD}$

$AEHD$ nội tiếp đường tròn tâm $I$

$\to \widehat{EIH}=2\widehat{EDH}$ ( góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp )

Mà $\widehat{EDF}=2\widehat{EDH}$ ( $DH$ là tia phân giác $\widehat{EDF}$ )

$\to \widehat{EIH}=\widehat{EDF}$

Xét $\Delta FEI$ và $\Delta FKD$, ta có:

$\widehat{EIH}=\widehat{EDF}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\widehat{EFH}=\widehat{DFH}$ ( $FA$ là tia phân giác $\widehat{EFD}$ )

$\to \Delta FEI\sim\Delta FKD$

$\to FE.FD=FK.FI$

Xét $\Delta FHE$ và $\Delta FDA$, ta có:

$\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\widehat{HEF}=\widehat{HAD}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta FHE\sim\Delta FDA$

$\to FE.FD=FH.FA$

Xét $\Delta FBH$ và $\Delta FAC$, ta có:

$\widehat{BFH}=\widehat{AFC}=90{}^\circ $

$\widehat{FBH}=\widehat{FAC}$ ( cùng phụ $\widehat{ACB}$ )

$\to \Delta FBH\sim\Delta FAC$

$\to FB.FC=FH.FA$

Ta vừa chứng minh được $3$ kết quả như sau:

$\begin{cases}FE.FD=FK.FI\\\\FE.FD=FH.FA\\\\FB.FC=FH.FA\end{cases}$

$\to FB.FC=FK.FI$

$\to \dfrac{FB}{FI}=\dfrac{FK}{FC}$

Xét $\Delta FBK$ và $\Delta FIC$, ta có:

$\widehat{BFK}=\widehat{IFC}=90{}^\circ $

$\dfrac{FB}{FI}=\dfrac{FK}{FC}$

$\to \Delta FBK\sim\Delta FIC$

$\to \widehat{FBK}=\widehat{FIC}$

Mà $\widehat{FIC}+\widehat{FCI}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{FBK}+\widehat{FCI}=90{}^\circ $

Vậy $BK\bot CI$