Lời giải:

Câu 2:

$(P): y =x^2$

$(d): y = x + m$

a) Khi $m=2$ ta được: $(d): y = x + 2$

Phương trình hoành độ gia điểm giữa $(P)$ và $(d):$

$x^2 = x + 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 =0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\Rightarrow y = 1\\x = 2\Rightarrow y = 4\end{array}\right.$

Vậy $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm $(-1;1)$ và $(2;4)$ khi $m = 2$

b) Phương trình hoành độ gia điểm giữa $(P)$ và $(d):$

$x^2 = x + m \Leftrightarrow x^2 - x - m =0 \qquad (*)$

$(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$

$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta_{(*)} >0$

$\Leftrightarrow 1 + 4m >0$

$\Leftrightarrow m > - \dfrac14$

Vậy $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ khi $m > - \dfrac14$

c) Ta có: $\Delta_{(*)} = 1 + 4m$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x_A = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4m}}{2}\\x_B = \dfrac{1 - \sqrt{1 + 4m}}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y_A = \dfrac{4m + 2 + 2\sqrt{1 + 4m}}{4}\\y_B = \dfrac{4m + 2 - 2\sqrt{1 + 4m}}{4}\end{array}\right.$

Khi đó:

$\quad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$\Rightarrow AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

$\Leftrightarrow 18 = \left(\dfrac{1 + \sqrt{1 + 4m}}{2}- \dfrac{1 - \sqrt{1 + 4m}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{4m + 2 + 2\sqrt{1 + 4m}}{4}- \dfrac{4m + 2 - 2\sqrt{1 + 4m}}{4}\right)^2$

$\Leftrightarrow 18 = 1 + 4m + 1 + 4m$

$\Leftrightarrow 8m = 16$

$\Leftrightarrow m = 2$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $B$ bằng $3\sqrt2$ khi $m=2$

Câu 3:

Gọi $x;\ y$ (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền của một cây bút loại I và loại II $(x,\, y >0)$

Ta có:

+) Tổng tiền mua `5` bút loại I và `6` bút loại II là `43` nghìn đồng: $5x + 6y = 43$

+) Một bút loại I nhiều hơn một bút loại II là `2` nghìn đồng: $x - y = 2$

Ta được hệ phương trình:

$\begin{cases}5x +6y = 43\\x - y = 2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 5\\y = 3\end{cases}$

Vậy số tiền của một bút loại I và một bút loại II lần lượt là `5` nghìn đồng và `3` nghìn đồng