Đáp án:

a) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(gt)\\AH\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABH=\Delta ACH\,\rm(ch-cgv)$

$\Rightarrow HB=HC$ (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có $HB=HC$ mà $HB+HC=BC=8cm$

Nên $HB=HC=\dfrac {BC}2=\dfrac82=4cm$.

Xét tam giác vuông $\Delta ABH$ có $AB=5cm$ và $HB=4cm$.

Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$AB^2=BH^2+AH^2$

$\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2$

$\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}$

$\Rightarrow AH=\sqrt{5^2-4^2}$

$\Rightarrow AH=\sqrt9$

$\Rightarrow AH=3cm$.

c) $\Delta ABH=\Delta ACH\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{HAE}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $\Delta AHD$ và $\Delta AHE$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{BAH}=\widehat{HAE}\,\rm(cmt)\\AH\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta AHD=\Delta AHE\,\rm(ch-gn)$

$\Rightarrow HD=HE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow\Delta HDE$ cân.

d) Ta xét $\Delta HEC$ vuông tại $E$

$\Rightarrow HC$ là cạnh huyền và $HE$ là cạnh góc vuông

$\Rightarrow HE<HC$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà $HD=HE$ nên $HD<HC$.