Lời giải:

a) Xét $ΔAEF$ có:

$AH$ là phân giác của $\widehat{A}\quad (gt)$

$AH\perp EF\quad (gt)$

Do đó: $ΔAEF$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{AFE}$

Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $EF$ tại $D$

$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{CDF}\quad $ (đồng vị)

Do đó: $\widehat{AFE} = \widehat{CDF}$

Hay $\widehat{CFD} = \widehat{CDF}$

Xét $ΔCDF$ có:

$\widehat{CFD} = \widehat{CDF}\quad (cmt)$

Do đó; $ΔCDF$ cân tại $C$

$\Rightarrow CF = CD\qquad (1)$

Xét $ΔBEM$ và $ΔCDM$ có:

\(\left.\begin{array}{l}BM = MC = \dfrac12BC\quad (gt)\\
\widehat{BME} = \widehat{CMD}:\,\text{đối đỉnh}\\
\widehat{MBE} = \widehat{MCD}:\, \text{so le trong}\\
\end{array}\right\}\)

Do đó: $ΔBEM=ΔCDM\, (g.c.g)$

$\Rightarrow BE = CD\qquad (2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow BE = CF$

b) Ta có:

$ΔAEF$ cân tại $A\quad$ (câu a)

$\Rightarrow AE = AF$

mà $AF = AC + CF$

nên $AE = AC + CF$

$\Leftrightarrow AE = AC + BE$

$\Leftrightarrow AE = AC + AB - AE$

$\Leftrightarrow 2AE = AB + AC$

$\Leftrightarrow AE = \dfrac{AB+AC}{2}$

Ta cũng có:

$\quad BE = AB - AE$

$\Leftrightarrow BE = AB - \dfrac{AB+AC}{2}$

$\Leftrightarrow BE = \dfrac{2AB - (AB + AC)}{2}$

$\Leftrightarrow BE = \dfrac{AB - AC}{2}$

c) Ta có:

$\quad \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - \widehat{AFM}$ ($\widehat{ACB}$ là góc ngoài của $ΔCMF$)

$\Leftrightarrow \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - \widehat{AEM}$

$\Leftrightarrow \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - (\widehat{ABC} + \widehat{BME})$

$\Leftrightarrow \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - \widehat{ABC} - \widehat{BME}$

$\Leftrightarrow \widehat{BME} =\widehat{ACB} - \widehat{ABC} - \widehat{BME}$

$\Leftrightarrow 2\widehat{BME}=\widehat{ACB} - \widehat{ABC}$

$\Leftrightarrow \widehat{BME}=\dfrac{\widehat{ACB} - \widehat{ABC}}{2}$