Đáp án:

a) Ta có $\widehat{AMB}=\widehat{DMN}$ (đối đỉnh).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta NDM$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}MB=MD\,\rm(gt)\\\widehat{AMB}=\widehat{DMN}\,\rm(cmt)\end{array}\right\}\Delta ABM=\Delta NDM\,\rm(ch-gn)$

c) Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt $AC$ tại $M$

$\Rightarrow BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MBC}$.

$\Delta ABM=\Delta NDM\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MDN}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{MBC}$ nên $\widehat{MDN}=\widehat{MBC}$

$\Rightarrow\Delta BDE$ cân tại $E\Rightarrow BE=DE$.

c) Vẽ $MF\,\bot\,BC\Rightarrow MCF$ vuông tại $F$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta BMF$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABM}=\widehat{BMC}\,\rm(cmt)\\BM\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\!\right\}\Delta ABD=\Delta BMF\,\rm(ch-gn)$

$\Rightarrow AM=MF$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABM=\Delta NDM\Rightarrow AM=MN$

$\Rightarrow MF=MN$.

Xét tam giác vuông $\Delta MFC$ vuông tại $F$

$\Rightarrow MC$ là cạnh huyền và $MF$ là cạnh góc vuông

$\Rightarrow MF<MC$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà $MF=MN\Rightarrow MN<MC$.