a, AD là phân giác $\widehat{BAC}$ (gt) ⇒ $\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$

DE⊥AB (gt)⇒ $\hat{E_{1}}=\hat{E_{2}}=90°$

DF⊥AC (gt)⇒ $\hat{F_{1}}=\hat{F_{2}}=90°$

Xét ΔAED vuông tại E ($\hat{E_{1}}=90°$) và ΔAFD vuông tại F ($\hat{F_{1}}=90°$) có:

AD: cạnh chung

$\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$ (cmt)

⇒ ΔAED=ΔAFD (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ DE=DF (các cạnh tương ứng)

b, ΔAED=ΔAFD (cmt)

⇒ AE=AF (hai cạnh tương ứng)

Có AB=AE+EB, AC=AF+FC

Mà AE=AF (cmt), AB=AC (ΔABC cân tại A)

⇒ EB=FC

Xét ΔBDE vuông tại E ($\hat{E_{2}}=90°$) và ΔCDF vuông tại F ($\hat{F_{2}}=90°$) có:

DE=DF (cmt)

EB=FC (cmt)

⇒ ΔBDE=ΔCDF (hai cạnh góc vuông)

c, ΔBDE=ΔCDF (cmt)

⇒ BD=CD (hai cạnh tương ứng)

⇒ D là trung điểm của BC (1)

Xét ΔBAD và ΔCAD có:

AB=AC (cmt)

$\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$ (cmt)

AD: cạnh chung

⇒ ΔBAD=ΔCAD (c.g.c)

⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (hai góc tương ứng)

mà hai góc này ở vị trí kề bù

⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\frac{180°}{2}=90°$

⇒ AD⊥BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD là đường trung trực của BC