Bài 1:

a)

Xét $\Delta DEI$ và $\Delta DFI$, ta có:

+   $DI$ là cạnh chung

+   $DE=DF$ (vì $\Delta DEF$ cân tại $D$)

+   $EI=FI$ (vì $DI$ là trung tuyến)

$\to \Delta DEI=\Delta DFI\left( c.c.c \right)$

b)

Vì $\Delta DEI=\Delta DFI\left( cmt \right)$

$\to \widehat{DIE}=\widehat{DIF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{DIE}+\widehat{DIF}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{DIE}=\widehat{DIF}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Vậy $\widehat{DIE}$ và $\widehat{DIF}$ là những góc vuông

c)

Vì $DI$ là trung tuyến

$\to I$ là trung điểm $EF$

$\to EI=\dfrac{EF}{2}=\dfrac{10}{2}=5cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta DEI$ vuông tại $I$

Ta có $D{{E}^{2}}=D{{I}^{2}}+E{{I}^{2}}$

$\to D{{E}^{2}}={{12}^{2}}+{{5}^{2}}$

$\to D{{E}^{2}}=169$

$\to DE=13cm$

Bài 2:

a)

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to \widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $

$\to \widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{C}=90{}^\circ -30{}^\circ =60{}^\circ $

Xét $\Delta ABD$ có $AH$ vừa là đường, đường trung tuyến

$\to \Delta ABD$ cân tại $A$

Lại có $\widehat{B}=60{}^\circ $

Nên $\Delta ABD$ là tam giác đều

b)

Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều

$\to \widehat{BAD}=60{}^\circ $

$\to \widehat{DAC}=90{}^\circ -\widehat{BAD}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ $

$\to \widehat{DAC}=\widehat{DCA}=30{}^\circ $

$\to \Delta DAC$ cân tại $D$

$\to DA=DC$

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta CED$ vuông tại $E$, ta có:

+   $\widehat{ADH}=\widehat{CDE}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $DA=DC\left( cmt \right)$

$\to \Delta AHD=\Delta CED\left( ch-gn \right)$

$\to AH=CE$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều

$\to \widehat{ADB}=60{}^\circ $

$\to \widehat{HDE}=120{}^\circ $

Vì $\Delta AHD=\Delta CED\left( cmt \right)$

$\to DH=DE$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta DHE$ cân tại $D$

$\to \widehat{DHE}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{HDE}}{2}=\dfrac{180{}^\circ -120{}^\circ }{2}=30{}^\circ $

$\to \widehat{DHE}=\widehat{DCA}=30{}^\circ $

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Vậy $EH//AC$

Bài 3:

a)

Ta có $B{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25$

Ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25$

$\to B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$ (Định lý Pytago đảo)

b)

Xét $BAC$ và $\Delta BAD$, ta có:

+   $BA$ là cạnh chung

+   $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=90{}^\circ $

+   $AC=AD\left( gt \right)$

$\to \Delta BAC=\Delta BAD\left( c.g.c \right)$

$\to BC=BD$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta BCD$ cân tại $B$

c)

Xét $\Delta BDC$ có hai đường trung tuyến $BA,CE$ cắt nhau tại $O$

Nên $O$ là trọng tâm của $\Delta BDC$

Nên $OA=\dfrac{AB}{3}=\dfrac{3}{3}=1cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta AOC$ vuông tại $A$

Ta có $O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to O{{C}^{2}}={{1}^{2}}+{{4}^{2}}$

$\to O{{C}^{2}}=17$

$\to OC=\sqrt{17}cm$