Đáp án:

a) $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{DBK}$.

$AE$ cắt $BC$ tại $K\Rightarrow E\in AK$

$\Rightarrow AE\,\bot\, BD\Rightarrow AK\,\bot\,BD$

$\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{BEK}=90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABE$ và $\Delta EBK$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{AEB}=\widehat{BEK}\,\rm(cmt)\\BE\ \rm là\ cạnh\ chung\\\widehat{ABD}=\widehat{DBK}\,\rm(cmt)\end{array}\right\}\Delta ABE=\Delta EBK\,\rm(g\!-\!c\!-\!g)$

$\Rightarrow AB=BK$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\Delta BAK$ cân.

b) Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta BDK$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=BK\,\rm(cmt)\\\widehat{ABD}=\widehat{DBK}\,\rm(cmt)\\BD\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\!\!\right\}\Delta ABD=\Delta BDK\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

$\Rightarrow DK=DA$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BKD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BAD}$ là góc vuông nên $\widehat{BKD}$ là góc vuông.

$\Rightarrow DK\,\bot\,BC$.

c) $DK=DA\Rightarrow\Delta ADK$ cân tại $D$

$\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{AKD}$ (hai góc đáy bằng nhau).

Vì $AI//DK$ và cắt $BC$ tại $H$

$\Rightarrow AH//DK\Rightarrow\widehat{AKD}=\widehat{HAK}$ (cặp góc so le trong).

Mà $\widehat{DAK}=\widehat{AKD}$ nên $\widehat{DAK}=\widehat{HAK}$

$\Rightarrow AK$ là tia phân giác của $\widehat{HAD}$.

Mặt khác $D\in AC\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{HAC}$

Vậy $AK$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$.

d) Vì $AH//DK$ mà $DK\,\bot\,BC\Rightarrow AH\,\bot\,BC$.

$AH\,\bot\,BC\Rightarrow AH$ là đường cao của $\Delta ABK$.

$BE\,\bot\,AK\Rightarrow BE$ là đường cao của $\Delta ABK$.

Vì $AH$ và $BE$ là đường cao và $AH\cap BE=I$

$\Rightarrow I$ là trực tâm của $\Delta ABK$.

$\Rightarrow KI$ đi qua trực tâm $I$

$\Rightarrow KI\,\bot\,AC$.

M gửi ạ

Cho mình xin 5 sao và ctrlhn nha ^^