$\text{9}$$\text{.}$

$\text{Có: BC = BH + HC = 2 + 8 = 10 (cm)}$

$\text{Vì AH ⊥ BC →}$ `hat{AHB}` $\text{=}$ `hat{AHC}` $\text{=}$ $90^{o}$  

$\text{→ ΔAHB và ΔAHC là tam giác vuông}$

$\text{Theo định lý Py - ta - go, ta có: }$

$AB^{2}$ $\text{+}$ $AC^{2}$ $\text{=}$ $BH^{2}$

$\text{→}$ $AB^{2}$ $\text{+}$ $AC^{2}$ $\text{=}$ $10^{2}$ $\text{= 100}$

$AH^{2}$ $\text{+}$ $CH^{2}$ $\text{=}$ $AC^{2}$

$\text{→}$ $AH^{2}$ $\text{+}$ $8^{2}$ $\text{=}$ $AC^{2}$

$\text{→}$ $AH^{2}$ $\text{+}$ $\text{64}$ $\text{=}$ $AC^{2}$  $\text{(1)}$

$BH^{2}$ $\text{+}$ $AH^{2}$ $\text{=}$ $AB^{2}$

$\text{→}$ $2^{2}$ $\text{+}$ $AH^{2}$ $\text{=}$ $AB^{2}$

$\text{→}$ $\text{4}$ $\text{+}$ $AH^{2}$ $\text{=}$ $AB^{2}$  $\text{(2)}$

$\text{Từ (1) và (2) suy ra:}$ 

$AH^{2}$ + $\text{64}$ + $AH^{2}$ $\text{+ 4 =}$ $AB^{2}$ $\text{+}$ $AB^{2}$

$\text{→}$ $2AH^{2}$ $\text{+ 68}$ = $\text{100}$

$\text{→}$ $2AH^{2}$ = $\text{100 - 68 = 32}$

$\text{→}$ $AH^{2}$ = $\text{32 : 12 = 16}$

$\text{→ AH =}$ $\sqrt{16}$ $\text{= 4}$

$\text{10}$$\text{.}$

$\text{Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y}$

$\text{Theo đề ra ta có:}$ $\frac{x}{3}$ $\text{=}$ $\frac{y}{4}$ 

$\text{Mà cạnh huyền của tam giác đó bằng 45cm}$

$\text{→}$ $x^{2}$  $\text{+}$ $y^{2}$ $\text{=}$ $45^{2}$ 

$\text{Có:}$ $\frac{x^{2} }{3^{2} }$ $\text{=}$ $\frac{y^{2} }{4^{2} }$ $\text{=}$ $\frac{x^{2} }{9}$ $\text{=}$ $\frac{y^{2} }{16}$

$\text{→}$ $\frac{x^{2} }{9}$ $\text{+}$ $\frac{y^{2} }{16}$ = $\frac{45^{2} }{25}$ $\text{= 81}$

$\text{→}$ $\left \{ {{x^{2} = 729} \atop {y^{2} =1296}} \right.$ 

$\text{→}$ $\left \{ {{x=\sqrt{729} = 27} \atop {y=\sqrt{1296} = 36}} \right.$  

Đáp án:

`9, AH=4cm`

`10, 27cm; 36cm`

Giải thích các bước giải:

Bài `9:`

Ta có : `BC=HB+HC=2+8=10 (cm)`

`ΔAHB` vuông tại `H` có : `AB^2=BH^2+AH^2`

`ΔAHC` vuông tại `H` có : `AC^2=CH^2+AH^2`

`ΔABC` vuông tại `A` có : `AB^2+AC^2=BC^2`

`=> BH^2+AH^2+CH^2+AH^2=10^2`

`=> 2^2+2AH^2+8^2=100`

`=> 68+2AH^2=100`

`=> 2AH^2=100-68`

`=> 2AH^2=32`

`=> AH^2=16`

Mà `AH>0`

`=> AH=4 (cm)`

Bài `10:`

Gọi hai cạnh góc vuông đó lần lượt là `x;y` ( ĐK : `x,y>0 )

Theo bài ra ta có : `x-:3=y-:4`

`=> x/3=y/4`

`=> x^2/9=y^2/16=(x^2+y^2)/(9+16)=(45^2)/25=81`

`=>`$\begin{cases}x^2=729\\y^2=1296\end{cases}$

Mà `x,y>0`

`=>`$\begin{cases}x=27\\y=36\end{cases}$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là `27cm; 36cm`