Người ta làm khá tắt:

Cần chứng minh: $\dfrac{ab+bc+ac}{2abc}\ge \dfrac{a+b+c}{2}(*)$

$\to \dfrac{ab+bc+ac}{abc}\ge a+b+c\\\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 3 $

Thật vậy theo BĐT Cauchy Schwars:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}=\dfrac{9}{3}=3$

$\to (*)$ đúng.

Cách làm của mình:

Vì $a,b,c$ vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử:

$a\ge b\ge c>0$

$\to b+c\le a+c\le a+b\\\to \dfrac{1}{b+c}\ge \dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{1}{a+b}$

Theo BĐT Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $\begin{cases} a\ge b\ge c\\\dfrac{1}{b+c}\ge \dfrac{1}{a+c}\ge \dfrac{1}{a+b} \end{cases}$ ta được:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge 3 (a+b+c)\sum\limits \dfrac{1}{b+c}$

Theo BĐT Cauchy Schwars:

$\sum\limits \dfrac{1}{b+c}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}\\\to \sum\limits \dfrac{a}{b+c}\ge \dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$