Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) Từ $GT : 2a + 4b + 3c² = 68 (a, b, ∈ Z^{+})$

$ ⇒ 0 < c < 5 ⇒ c = 2; 4$

- Nếu $: c = 2 ⇒ 2a = 68 - 4b - 3.2² = 56 - 4b ⇒ a = 28 - 2b$

$ P = a² + b² + c³ = (28 - 2b)² + b² + 2³$

$ = 5b² - 2.56.b + 792$

$ ⇒ 5P = (5b)² - 2.5b.56 + 56² + 824$

$ = (5b - 56)² + 824 ≥ 1 + 824 = 825 $

$ ⇒ GTNN$ của $P = 165 (1)⇔ b = 11⇒ a = 6$

- Nếu $: c = 4 ⇒ 2a = 68 - 4b - 3.4² = 20 - 4b ⇒ a = 10 - 2b$

$ P = a² + b² + c³ = (10 - 2b)² + b² + 4³$

$ = 5b² - 2.20.b + 164$

$ = 5(b² - 2.b.4+ 4²) + 84$

$ = 5(b - 4)² + 84 ≥ 84$

$ ⇒ GTNN$ của $P = 84 (2)⇔ b = 4 ⇒ a = 2$

So sánh $(1); (2) ⇒ GTNN$ của $P = 84 ⇔ a = 2; b = 4; c = 4$

2) Xem lại đề bài

Nếu $m, n, p ∈ R^{+}$ thì có lý

Với mọi $a, b$ ta có:

$- (a - b)² ≤ 0 ⇔ - (a² - 2ab + b²) ≤ 0 ⇔ 2ab ≤ a² + b² (*)$

$ ⇔ 4ab ≤ a² + 2ab + b² = (a + b)² (**)$

Áp dụng $(*)$ ta có:

$ 2np ≤ n² + p² ⇔ 1 + 2np ≤ 1 + n² + p²$ 

$ ⇔ \dfrac{3}{2}(1 + 2np) ≤ \dfrac{3}{2}(n² + p²) + \dfrac{3}{2} (1)$

$ 2.m.(\dfrac{2}{3}) ≤ m² + (\dfrac{2}{3})² = m² + \dfrac{4}{9}$

$ ⇔ 2m ≤ \dfrac{3}{2}(m² + \dfrac{4}{9}) = \dfrac{3}{2}m² + \dfrac{2}{3}$

$ ⇔ 1 + 2m ≤ \dfrac{3}{2}m² + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{3}{2}m² + \dfrac{5}{3}(2)$

Từ $(1); (2)$ áp dụng $(**)$ với $: a = \dfrac{3}{2}(1 + 2np); b = 1 + 2m $

$ 4.[\dfrac{3}{2}(1 + 2np)].(1 + 2m) ≤  [\dfrac{3}{2}(1 + 2np) +  (1 + 2m)]² $

$ ≤ [\dfrac{3}{2}(n² + p²) + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}m² + \dfrac{5}{3}]²(3)$

$ = [\dfrac{3}{2}(m² + n² + p²) + \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{3}]² $

$ = (\dfrac{3}{2}.1 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{3})² = (\dfrac{14}{3})² = \dfrac{196}{9}$

$ ⇔ 6S ≤ \dfrac{196}{9} ⇔ S ≤ \dfrac{98}{27}$

Vậy $GTLN$ của $S = \dfrac{98}{27}$; xảy ra khi đồng thời

xảy ra dấu $'='$ ở $(1); (2); (3) $

$ n = p; m = \dfrac{2}{3};  \dfrac{3}{2}(1 + 2np) = 1 + 2m$

$ ⇔ m = \dfrac{2}{3}; n = p = \dfrac{\sqrt{10}}{6}$