Đa thức bậc 2 đó có dạng là: f(x) = ax^2 + bx+c 

Ta có: f(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) +c

f(x) - f(x-1) = 2ax -a +b  =x 

=> 2a =1 và b-a =0

=> a= 1/2 và b= 1/2

=> Đa thức cần tìm là f(x) = 1/2x^2 + 1/2x + c ( c là hằng số)

Áp dụng để tính S ta được:

+) Với x= 1ta có: f(1) - f(1-1) = f(1) - f(0) =1 

+) Với x =2 ta có: f(2) - f(1) =1

................................................................................................................

+) Với x= n ta có: f(n) - f(n-1) =1

=> S = 1+2 +3+...+n

=> S= f(n) - f(0) 

=> S= n^2/2 +n/2 + c-c

=> S= n^2+n/2 

Vậy S = n^2+n/2

`f(x) = ax^2 + bx+c `

`⇒ f(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) +c`

`⇒f(x) - f(x-1) = ax^2 + bx+c-a(x-1)^2 - b(x-1) -c`

`⇒f(x) - f(x-1)=ax^2 + bx+c-ax^2+2ax-a-bx+b-c`

`⇒f(x) - f(x-1)=2ax -a +b  =x `

để thõa mãn :

`⇒ a=b= 1/2`

`⇒f(x) = 1/2x^2 + 1/2x + c `

`+)`xét `x= 1⇒ f(1) - f(1-1) = f(1) - f(0) =1 `

`+) xét x =2⇒f(2) - f(1) =1`

tương tự 

`+) xét x= n ⇒f(n) - f(n-1) =1`

theo quy luật trên 

`⇒ S = 1+2 +3+...+n`

`⇒ S= f(n) - f(0) `

`⇒S= n^2/2 +n/2 + c-c`

`⇒S= (n^2+n)/2 `