Bài toán bổ sung :

Chứng minh công thức ` 1^3 + 2^3 +3^3+ ....+n^3 = (1+2+3+....+n)^2`

Bài giải : Chứng minh quy nạp

Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )

Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )

Giả sử điều trên đúng với `n =k` ; ta sẽ chứng minh với `n = k+1` cũng đúng

Ta có 

` 1^3 +2^3 + ..... +k^3 = ( 1 + 2 + ..... + k )^2`

` => 1^3 + 2^3 +..... + k^3 +  (k+1)^3 = ( 1 + 2 +..... +k )^2 + (k+1)^3`

` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`

Cần chứng minh :

` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`

Đẳng thức cần chứng minh tương đương

` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`
` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`

Đẳng thức được chứng minh

Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +...... + n^3 = (1+2+3+......n)^2 ` 

-------------

Áp dụng ta có

` 1^3 +2^3 = (1+2)^2`

` => \sqrt(1^3+2^3) = \sqrt((1+2)^2) = 1+2`

` => 1/(\sqrt(1^3+2^3)) = 1/(1+2)`

CMTT với các phân thức còn lại 

.....

`1/(\sqrt(1^3+2^3+3^3+...+n^3)) = 1/((\sqrt(1+2+3+....+n))^2) = 1/(1+2+3+...+n)`

Vậy ta có điều phải chứng minh (Done)

Đáp án + giải thích các bước giải:

Ta xét đẳng thức: `1^3+...+n^3=(1+...+n)^2`

Với `n=1`, ta có: `1^3=1=(1)^2`

Giả sử đẳng thức đúng với `n=k(k>=1) `

`->S_k=1^3+...+k^3=(1+...+k)^2=[(k(k+1))/2]^2`(giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với `n=k+1`, hay

`S_{k+1}=1^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+...+k+k+1)^2=[((k+1)(k+2))/2]^2`

Thật vậy, ta có:

`S_{k+1}=S_k+(k+1)^3=[(k(k+1))/2]^2+(4(k+1)^3)/4=((k+1)^2[k^2+4(k+1)])/4=((k+1)^2(k+2)^2)/4=[((k+1)(k+2))/2]^2`

Vậy đẳng thức đúng với mọi `n`

Áp dụng đẳng thức vào bài, ta có `\sqrt{1^3+...+n^3}=1+...+n`, từ đó có điều phải chứng minh