Phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có nghiệm $x_1$, $x_2$.

Đặt $S=x_1+x_2$, $P=x_1x_2$

$1) $ Phương trình 2 nghiệm trái dấu:

ĐK: $\Delta>0$ (nghiệm kép thì không thể trái dấu)

Ta có $x_1<0$, $x_2>0$ hoặc $x_1>0$, $x_2<0$

Do đó $x_1x_2$ luôn mang dấu âm, hay $P<0$

$2) $ Phương trình 2 nghiệm cùng dấu:

ĐK: $\Delta\ge 0$

Ta có $x_1>0$, $x_2>0$ hoặc $x_1<0, x_2<0$

Do đó $x_1x_2$ luôn mang dấu dương, hay $P>0$

    + Hai nghiệm dương: thêm điều kiện $S>0$ do $x_1>0, x_2>0\to x_1+x_2>0$  

    + Hai nghiệm âm: thêm điều kiện $S<0$ do $x_1<0, x_2<0\to x_1+x_2<0$

$3)$ Phương trình hai nghiệm phân biệt dương: tương tự $(2)$, thay $\Delta\ge 0$ bằng $\Delta>0$ để hai nghiệm phân biệt.

$4)$ Phương trình hai nghiệm phân biệt âm: tương tự $(2)$, thay $\Delta\ge 0$ bằng $\Delta>0$ để hai nghiệm phân biệt.

Đáp án + giải thích các bước giải:

a) Hai nghiệm trái dấu thì khi nhân chúng với nhau sẽ âm

`->x_1x_2<0`

`->P=c/a<0`

Lí do trường hợp này không cần `Δ>=0:`

Khi` c/a<0`

`->c` và` a` trái dấu 

`->ac<0`

`->4ac<0`

`->-4ac>0`

`->b^2-4ac>0`

`->Δ>0`

b) Hai nghiệm trái dấu thì khi nhân chúng với nhau sẽ dương

`->P>0`

Đương nhiên kèm `Δ>=0 `

`c)` Hai nghiệm dương thì khi nhân chúng với nhau sẽ dương, và cộng với nhau sẽ âm 

`->S;P>0`

Đương nhiên kèm `Δ>=0  `

`d)` Hai nghiệm âm thì khi nhân chúng với nhau sẽ dương, cộng với chúng sẽ âm

`->S<0;P>0`

Đương nhiên kèm `Δ>=0 `

`e)` và `f)` chỉ khác là hai nghiệm phân biệt nên `Δ>0`

*) Chú ý: 

-Hai số cùng dấu sẽ có tích dương

-Hai số khác dấu sẽ có tích âm

-Tổng hai số dương sẽ dương

-Tổng hai số âm sẽ âm