Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $M, I$ là trung điểm $BC, BM$

$\to CM=BM=2MI$

Mà $E\in$ tia đối của tia $IA, IA=IE\to I$ là trung điểm $AE$

$\to CI$ là trung tuyến $\Delta ACE$

Kết hợp $M\in CI, CM=2MI$

$\to M$ là trọng tâm $\Delta ACE$

b.Vì $M$ là trọng tâm $\Delta ACE, F$ là trung điểm $CE$

$\to A, M, F$ thẳng hàng

c.Do $M$ là trọng tâm $\Delta ACE\to AM=\dfrac23AF$

Xét $\Delta IAM,\Delta IBE$ có:

$IA=IE$

$\widehat{AIM}=\widehat{BIE}$

$IM=IB$

$\to \Delta AIM=\Delta EIB(c.g.c)$

$\to BE=AM=\dfrac23AE$

d.Do $M$ là trọng tâm $\Delta ACE, EM\cap AC=K\to K$ là trung điểm $AC$

Trên tia đối của tia $KI$ lấy điểm $D$ sao cho $KD=KI$

Xét $\Delta AKI,\Delta DKC$ có:

$KA=KC$ vì $K$ là trung điểm $AC$

$\widehat{AKI}=\widehat{DKC}$(đối đỉnh)

$KI=KD$

$\to \Delta KAI=\Delta KCD(c.g.c)$

$\to AI=CD, \widehat{AIK}=\widehat{KDC}\to AI//CD\to CD//EI$

Mà $IA=IE\to IE=CD$

Xét $\Delta DCI,\Delta CEI$ có:

Chung $CI$

$\widehat{DCI}=\widehat{CIE}$ vì $CD//AI$

$CD=IE$

$\to \Delta DCI=\Delta EIC(c.g.c)$

$\to \widehat{DIC}=\widehat{ICE}$

$\to DI//CE$

$\to IK//CE$