Đáp án:

Xét ΔOAB có OA + OB > AB

Xét ΔOAC có OA + OC > AC

Xét ΔOBC có OB + OC > BC

=> OA+OB+OA+OC+OB+C > AB+AC+BC

=> 2. (OA+OC+OC) > AB+AC+BC

$ \Rightarrow OA + OB + OC > \dfrac{{AB + AC + BC}}{2}$

Gọi OA cắt BC tại I,

Xét ΔOBI có OB< BI +IO => OB+OA< BI+AI

Xét ΔACI có AI < AC+IC => AI+IB < AC+BC

=> OB+OA < AC+BC (1) 

Gọi OC cắt BA tại G

Xét ΔBGO có OB< GO+BG => OB +OC < GC+BG

Xét ΔAGC có GC < AG+AC => GC + BG < AB+AC

=> OB + OC < AB+AC (2)

Xét ΔGAO có OA < OG +AG => OA +OC < GC+AG

Xét ΔGBC có GC < GB+BC => GC+AG < AB + BC

=> OA+OC < AB+BC (3)

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\\
 \Rightarrow OB + OA + OB + OC + OA + OC\\
 < AC + BC + AB + AC + AB + BC\\
 \Rightarrow OA + OB + OC < AB + AC + BC\\
Vậy\,\\
\dfrac{{AB + AC + BC}}{2} < OA + OB + OC < AB + AC + BC
\end{array}$