$a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$

Xét $\Delta AIB$ và $\Delta AIC$

AI: chung

$AB=AC\\ \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta AIB = \Delta AIC$

$b)\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AI$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, phân giác

$\Rightarrow AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$c)AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Xét $\Delta AIE$ và $\Delta AIF$

$AI:$ chung

$AE=AF\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\ \Rightarrow \Delta AIE= \Delta AIF\\ d) \Delta AIE= \Delta AIF\\ \Rightarrow \widehat{I_2}=\widehat{I_3}$

Mà $\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=90^o=\widehat{I_3}+\widehat{I_4}$

$\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_4}(1)\\ \Delta AIE= \Delta AIF\\ \Rightarrow \widehat{AFI}=\widehat{AEI}=90^0\\ \Rightarrow IF \perp AC$

Mà $BM \perp AC$

$\Rightarrow BM // IF\\ \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{I_4}(2)\\ (1)(2)\Rightarrow  \widehat{B_1}=\widehat{I_1}$

Mà $\widehat{B_1}+\widehat{H_1}=90^o=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}$

$\Rightarrow  \widehat{H_1}=\widehat{I_2}$

$\Rightarrow \Delta HOI$ cân tại $O$