1)
Tứ giác ABOC có:
`\hat{ABO}=90^o` (AB là tt của (O))

`\hat{ACO}=90^o` (AC là tt của (O))

Mà `\hat{ABO}+\hat{ACO}=90^o+90^o=180^o`

Do đó: Tứ giác ABOC nt

2)

Ta có:
`\hat{EFC}=90^o` (góc nt chắn nửa đ/tròn (O))(1)

Ta lại có: 

`OB=OC` (bán kính của đ/tròn (O))

`AB=AC` (2 tt của đ/tròn (O))

Suy ra: OA là trung trực của BC

`\Rightarrow OA\bot BC`

`\Rightarrow\hat{CIA}=90^o`

Mặt khác:

`\hat{CBD}=\hat{CFD}` (2 góc nt đ/tròn (O) cùng chắn cung `CD`)

Mà `\hat{CBO}=\hat{CAO}` hay `\hat{CBD}=\hat{CAO}` (2 góc nt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC cùng chắn cung `OC`)

Suy ra: `\hat{CFD}=\hat{CAO}` hay `\hat{CFI}=\hat{CAI}`

Mà 2 đỉnh kề F, A cùng phía nhìn CI với hai góc bằng nhau.

Do đó: tứ giác CIFA nt

Mà `\hat{CIA}=90^o(cmt)`

Suy ra: `\hat{CFA}=\hat{CIA}=90^o`(2)

(1)(2) suy ra: A, E, F thẳng hàng (2 góc kề bù)

3)

Gọi H là trung điểm của AC.

Mà `\Delta CFA\bot F` (`\hat{CFA}=90^o`)

`\Rightarrow FH=CH`

`\Rightarrow\Delta CHF` cân

`\Rightarrow\hat{HFC}=\hat{HCF}` (3)

Ta có:

`OB=OC(cmt)`

`\Rightarrow\Delta OBC` cân tại O

`\Rightarrow\hat{OBC}=\hat{OCB}`

`\Rightarrow\hat{OCB}=\hat{OAC}(\hat{OBC}=\hat{OAC})`

Mà `\hat{CIA}=\hat{CFI}` hay `\hat{CFD}=\hat{OAC}` (2 góc nt đường tròn ngoài tiếp tứ giác CIFA)

Suy ra: `\hat{OCB}=\hat{CFD}` (4)

`\Delta ODF` có:

`OD=OF` (bán kính của đ/tròn (O))

Do đó: `\Delta ODF` cân tại O

`\Rightarrow\hat{OFD}=\hat{ODF}`

Mà `\hat{FCB}=\hat{FDB}` hay `\hat{FCB}=\hat{ODF}` (2 góc nt đ/tròn (O) cùng chắn cung `BF`)

Suy ra `\hat{OFD}=\hat{FCB}` (5)

(3)(4)(5) suy ra: `\hat{HFC}+\hat{CFD}+\hat{OFD}=\hat{HCF}+\hat{OCB}+\hat{FCB}\Rightarrow\hat{OFH}=90^o`

mà HF là bán kính của đường tròn ngoại tiếp `\Delta IFA`

Do đó: `OF` là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp `\Delta AIF`