a)Ta có:

Vì ΔABC cân tại A mà AH là đường cao của ΔABC nên AH cũng là đường trung tuyến

Mà BK là đường trung tuyến của ΔABC

BK ∩ AH tại G

⇒G là trọng tâm ΔABC

⇒CG là trung tuyến ΔABC hay CI là trung tuyến ΔABC

⇒AI=IB

b)Ta có:

Vì G là trọng tâm ΔABC 

⇒AK=KC(do BK là đường trung tuyến)

Mà theo a) AI=BI

⇒$\left \{ {{AI+BI=AB} \atop {AK+KC=AC}} \right.$ mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

⇒AI=BI=AK=KC

Vì G là trọng tâm ΔABC

⇒$\left \{ {{GI=2CG} \atop {GK=2GB}} \right.$ 

Mà CI=BK(do ΔABC cân tại A)

⇒GI=GK

Xét ΔAIG và ΔAKG có:

AG chung

AI =AK (cmt)

GI=GK(cmt)

⇒ΔAIG=ΔAKG(c.c.c)

c)Ta có:

Vì G là trọng tâm ΔABC

⇒AG=$\frac{2}{3}$ AH=$\frac{2}{3}$ 18=12(cm)

Mà AG=2GH

⇒GH=$\frac{AG}{2}$ =$\frac{12}{2}$ =6(cm)

BH=HC(do AH là trung tuyến BC)

⇒BH=HC=$\frac{BC}{2}$ =$\frac{16}{2}$ =8(cm)

Xét ΔGHC có:

   GH²+HC²=GC²(Định lí Pi-ta-go)

⇒6²+8²=GC²

⇒36+64=GC²

⇒GC²=100=10²

⇒GC=10(cm)

Mà GC=2GI

⇒GI=$\frac{GC}{2}$ =$\frac{10}{2}$=5(cm)

Vậy độ dài cạnh GI là 5cm

d)Ta có:

Theo b) GI=GK

⇒ΔIGK là tam giác cân tại G

$\left \{ {{GC=2GI} \atop {GB=2GK}} \right.$

Mà GI=GK

⇒GC=GB

⇒ΔGBC là tam giác cân tại G

Ta có:

∠KIG=∠IKG=$\frac{180*-∠IGK}{2}$

∠GBC=∠GCB=$\frac{180*-∠BGC}{2}$

Mà ∠IGK=∠BGC(đối đỉnh)

⇒∠KIG=∠GCB

Mà 2 góc ở vị trí so le trong 

⇒IK=BC

(CHO HAY NHẤT ĐI :<)