a) Xét $\Delta MQE $ và$ \Delta MQN$, ta có:

$ QN = QE \\ \widehat {MQN} = \widehat {MQE}( = {90^ \circ }) \\ $

$MQ$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta MQE = \Delta MQN$

b) $ \Delta MQE = \Delta MQN \\ \Rightarrow ME = MN \\ $

$\Rightarrow \Delta MEN$ cân tại $M$

Xét $ \Delta MPN \bot M,\widehat P = {30^ \circ } \\ \Rightarrow \widehat {MNE} = {60^ \circ } \\ $

$\Rightarrow \Delta MEN$ đều

c) $ \Delta MEN$ đều

$ \Rightarrow ME = EN \\ \Delta MNP \bot M \\ $

$\Rightarrow ME$ là đường trung tuyến

$ \Rightarrow PE = ME$

Xét $\Delta EKP $ và $ \Delta EQM$, ta có:

$ PE = ME \\ \widehat {KEP} = \widehat {QEM} \\ \widehat {EKP} = \widehat {EQM}( = {90^ \circ }) \\ $

$ \Rightarrow \Delta EKP = \Delta EQM(ch - gn)$

$ \Rightarrow PK = MQ$

d) Xét $\Delta OPM$, ta có:

$MK; PQ$ là đường cao

$ E = MK \cap PQ \\ \Rightarrow OE \bot PM \\ MN \bot PM \\ \Rightarrow MN//OE \\ $