`a)` $CD\perp AB$ (gt)

`=>\hat{BCE}=90°`

Ta có: 

`\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>\hat{EMB}=90°`

`=>\hat{BCE}+\hat{EMB}=90°+90°=180°`

`=>` Tứ giác $BCEM$ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng `180°`)

$\\$

`b)`

`\hat{AMD}=\hat{ABD}` (cùng chắn cung $AD$)

`\hat{ADE}=\hat{ABD}` (cùng phụ `\hat{BAD}`)

`=>\hat{AMD}=\hat{ADE}` 

$\\$

`\hat{DEM}` là góc ngoài $∆ADE$

`=>\hat{DEM}=\hat{ADE}+\hat{DAM}`

`=>\hat{DEM}=\hat{AMD}+\hat{DAM}`

Vậy `\hat{AMD}+\hat{DAM}=\hat{DEM}` (đpcm)

$\\$

`c)` Xét $∆FDA$ và $∆FBD$ có:

`\hat{F}` chung

`\hat{FDA}=\hat{FBD}` (cùng chắn cung $AD$)

`=>∆FDA∽∆FBD` (g-g)

`=>{FD}/{FB}={FA}/{FD}` $(1)$

`=>FD^2=FA.FB` (đpcm)

$\\$

Ta có: `\hat{ADE}=\hat{ABD}` (câu b)

Mà `\hat{ABD}=\hat{ADF}` (cùng chắn cung $AD$)

`=>\hat{ADE}=\hat{ADF}`

Vì tia $DA$ nằm giữa hai tia $DE$ và $DF$

`=>DA` là phân giác `\hat{EDF}`

`=>DA` là phân giác `\hat{CDF}`

`=>{CA}/{FA}={CD}/{FD}`

`=>{CA}/{CD}={FA}/{FD}` $(2)$

Từ `(1);(2)=> {CA}/{CD}={FD}/{FB}` (đpcm)

$\\$

`d)` $E$ là trung điểm $CD$ (gt)

`=>IE` là trung tuyến của $∆ICD$

`(I;r)` là đường tròn ngoại tiếp $∆DEM$ (gt)

`=>IE=r`

Mà `r={CD}/2` (gt)

`=>IE={CD}/2`

`=>∆ICD` có trung tuyến `IE={CD}/2`

`=>∆ICD` vuông tại $I$

`=>CI`$\perp BD$

$\\$

`\hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AD`$\perp BD$

$\\$

`=>CI`//$AD$ (đpcm)