a)

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDA$, ta có:

$\widehat{AMD}$ là góc chung

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AC$)$\to \Delta MAC\sim\Delta MDA\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}$

$\to M{{A}^{2}}=MC.MD$

b)

Vì $AF$ là tia phân giác $\widehat{CAD}$

$\to \widehat{CAF}=\widehat{DAF}$

$\to \overset\frown{CF}=\overset\frown{DF}$

$\to F$ là điểm chính giữa $\overset\frown{CD}$

$\to OF\bot CD$

Ta có:
$\begin{cases}\widehat{MAE}=\widehat{MAC}+\widehat{EAC}\,\,\,\left(\text{ hiển nhiên }\right)\\\\\widehat{MEA}=\widehat{EDA}+\widehat{EAD}\,\,\,\left(\text{ tính chất góc ngoài của tam giác AED }\right)\end{cases}$

Mà:
$\begin{cases}\widehat{MAC}=\widehat{EDA}\,\,\,\left(\text{ góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung }\right)\\\\\widehat{EAC}=\widehat{EAD}\,\,\,\left(\text { AE là tia phân giác góc CAD }\right)\end{cases}$

Nên:
$\widehat{MAE}=\widehat{MEA}$
$\to \Delta MEA$ cân tại $M$
$\to MA=ME$

c)
$\begin{cases}MA=ME\,\,\,\left(\text{ cmt }\right )\\\\MA=MB\,\,\,\left(\text { tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau }\right)\end{cases}$
$\to ME=MB$
$\to \Delta MEB$ cân tại $M$
$\to \widehat{MEB}=\widehat{MBE}$


Ta có:
$\begin{cases}\widehat{MEB}=\widehat{EDB}+\widehat{EBD}\,\,\,\left(\text{ tính chất góc ngoài của tam giác BED }\right)\\\\\widehat{MBE}=\widehat{MBC}+\widehat{EBC}\,\,\,\left(\text{ hiển nhiên }\right)\end{cases}$

Mà:
$\begin{cases}\widehat{MEB}=\widehat{MBE}\,\,\,\left(\text{ cmt }\right)\\\\\widehat{EDB}=\widehat{MBC}\,\,\,\left(\text{ góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung }\right)\end{cases}$

Nên:
$\widehat{EBD}=\widehat{EBC}$
$\to BE$ là tia phân giác $\widehat{CBD}$