Giải thích các bước giải:

 a.Xét $\Delta ADB,\Delta MDC$ có:

$DA=DM$ vì $D$ là trung điểm $AM$

$\widehat{ADB}=\widehat{CDM}$(đối đỉnh)

$DB=DC$ vì $D$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta ADB=\Delta MDC(c.g.c)$

b.Xét $\Delta BAH,\Delta BNH$ có:

Chung $BH$

$\widehat{BHA}=\widehat{BHN}(=90^o)$ vì $AH\perp BC$

$HA=HN$ 

$\to \Delta HAB=\Delta HNB(c.g.c)$

$\to BN=AB$

Từ câu a $\to AB=CM$

$\to BN=CM$

c.Xét $\Delta DHA,\Delta DHN$ có:

Chung $DH$

$\widehat{DHA}=\widehat{DHN}(=90^o)$

$HA=HN$

$\to \Delta DHA=\Delta DHN(c.g.c)$

$\to DA=DN$

Mà $DA=DM\to DN=DM=DA$

$\to \Delta DHM, \Delta DAN$ cân tại $D$

$\to \widehat{DAN}=\widehat{DNA},\widehat{DNM}=\widehat{DMN}$

$\to \widehat{ANM}=\widehat{DNA}+\widehat{DNM}=\widehat{DAN}+\widehat{DMN}=\widehat{NAM}+\widehat{NMA}$

$\to 2\widehat{ANM}=\widehat{NAM}+\widehat{NMA}+\widehat{ANM}=180^o$

$\to \widehat{ANM}=90^o$

$\to AN\perp MN\to AH\perp MN$

Vì $AH\perp BC\to MN//BC\to MN//HD$

Kẻ $DE\perp MN\to DE//HN$

Ta có: $\Delta DNM$ cân tại $D, DE\perp MN\to E$ là trung điểm $MN$

Xét $\Delta DNH,\Delta DNE$ có:

$\widehat{DHN}=\widehat{DEN}(=90^o)$

Chung $DN$

$\widehat{HDN}=\widehat{DNE}$ vì $HN//MN$

$\to \Delta HDN=\Delta END$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to HD=NE=\dfrac12MN$

$\to MN=2HD$