Giải thích các bước giải:

Gọi $AO\cap BC= H$

Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$

Ta có $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB$

$\to AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=2R\sqrt{2}$

Ta có $\Delta ABO$ vuông tại $B, BH\perp AO$

$\to AB^2=AH.AO\to AH=\dfrac{AB^2}{AO}=\dfrac83R$

Xét $\Delta MBI, \Delta MCB$ có:

Chung $\hat M$

$\widehat{MBI}=\widehat{MCB}$ vì $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta MBI\sim\Delta MCB(g.g)$
$\to \dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MI}{MB}$

$\to MB^2=MI.MC$

Xét $\Delta MAI, \Delta MAC$ có:

Chung $\hat M$
$\widehat{MAI}=\widehat{IDC}=\widehat{ACM}$ vì $AB//CD, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta MAI\sim\Delta MCA(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MI}{MA}$

$\to MA^2=MC.MI$

$\to MA^2=MB^2\to MA=MB$
$\to M$ là trung điểm $AB$

Ta có $M,H$ là trung điểm $AB, BC, AH\cap CM=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to AG=\dfrac23AH=\dfrac{16}{9}R$