Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CD$ là đường kính của $(O)\to DN\perp NC$

Mà $CD\perp AB$

$\to \widehat{CNF}=\widehat{CKF}=90^o$

$\to C,N,F,K\in$ đường tròn đường kính $CF$ 

b.Xét $\Delta DFK,\Delta DNC$ có:

Chung $\hat D$

$\widehat{DKF}=\widehat{DNC}=90^o$

$\to \Delta DKF\sim\Delta DNC(g.g)$

$\to\dfrac{DK}{DN}=\dfrac{DF}{DC}$

$\to DF.DN=DK.DC$

c.Ta có $NI$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{FNI}=\widehat{DNI}=\widehat{DCN}=90^o-\widehat{CDN}=90^o-\widehat{KFD}=\widehat{KFD}=\widehat{NFI}$

$\to \Delta INF$ cân tại $I\to IN=IF$

Mà $DN\perp CE\to \Delta NEF$ vuông tại $N$

$\to \widehat{INE}=90^o-\widehat{INF}=90^o-\widehat{NFI}=\widehat{NEI}$

$\to \Delta INE$ cân tại $I\to IN=IE$

$\to IF=IE(=IN)$

d.Ta có $CD\perp AB,CD$ là đường kính của $(O)$

$\to D$ nằm giữa cung $AB$

$\to ND$ là phân giác $\widehat{ANB}$

$\to NF$ là phân giác $\widehat{ANB}$

Mà $ND\perp NC\to ND\perp NE$

$\to NE$ là phân giác ngoài đỉnh $N$ của $\Delta NAB$

$\to \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{EA}{EB}$

$\to \dfrac{EB}{FB}=\dfrac{EA}{FA}$

Xét $\Delta ENB,\Delta EAC$ có:

Chung $\hat E$

$\widehat{ENB}=\widehat{EAC}$ vì $ABNC$ nội tiếp

$\to \Delta ENB\sim\Delta EAC(g.g)$

$\to \dfrac{EN}{EA}=\dfrac{EB}{EC}$

$\to EN.EC=EB.EA$

Lại có $\widehat{NEF}=\widehat{CEK},\widehat{ENF}=\widehat{EKC}(=90^o)$

$\to \Delta ENF\sim\Delta EKC(g.g)$

$\to \dfrac{EN}{EK}=\dfrac{EF}{EC}$

$\to EN.EC=EF.EK$

$\to EB.EA=EF.EK$

$\to \dfrac{KE}{AE}=\dfrac{EB}{EF}$

$\to \dfrac{KE}{AE-KE}=\dfrac{EB}{EF-EB}$

$\to \dfrac{KE}{KA}=\dfrac{EB}{BF}$

$\to \dfrac{EB}{FB}=\dfrac{KE}{KA}(=\dfrac{EB}{BF})$