`\qquad x^2-2(m+1)x+2m+1=0`

Ta có:

`a=1;b=-2(m+1)=>b'=-(m+1);c=2m+1`

`=>∆'=b'^2-ac=[-(m+1)]^2-(2m+1)=m^2\ge 0\ \forall m`

`=>` Phương trình luôn có nghiệm `x_1;x_2`

Theo hệ thức Viet ta có:

`x_1+x_2={-b}/a=2(m+1)`

`x_1x_2=c/a=2m+1`

Để $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác có cạnh huyền `\sqrt{5}` thì:

`x_1>0;x_2>0`

`x_1^2+x_2^2=5` (định lý Pytago)

$⇒ \begin{cases}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\\(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5\end{cases}$

$⇔\begin{cases}2(m+1)>0\\2m+1>0\\4(m+1)^2-2(2m+1)=5\end{cases}$

$⇔\begin{cases}m>-1\\m>\dfrac{-1}{2}\\4m^2+4m-3=0\end{cases}$

$⇔\begin{cases}m>\dfrac{-1}{2}\\4m^2-2m+6m-3=0\ (1)\end{cases}$

`(1)<=>2m(2m-1)+3(2m-1)=0`

`<=>(2m-1)(2m+3)=0`

$⇔\left[\begin{array}{l}2m-1=0\\2m+3=0\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}m=\dfrac{1}{2}(T M)\\m=\dfrac{-3}{2}(KT M)\end{array}\right.$

Vậy `m=1/ 2`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có :

$\Delta '=(m+1)^2-2m-1=m^2\geq 0\forall x$

Với $\Delta'=m^2$ thì pt có 2 nghiệm 

DO là cạnh của tam giác nên:$x_1.x_2>0$
$2m+1>0$

$m>\dfrac{-1}{2}$

Để $x_1,x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông thì :

$x_1^2+x_2^2=(\sqrt{5})^2$

$(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=5$

$4m^2+8m+4-4m-2=5$

$4m^2+4m-3=0$

\(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{1}{2}\\m=\dfrac{-3}{2}\end{array} \right.\) 

\(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{1}{2}(tm)\\m=\dfrac{-3}{2}(loại)\end{array} \right.\) 

Vậy $m=\dfrac{1}{2}$