Bạn tự vẽ hình nhé!

a, xét ΔANB nội tiếp đường tròn đg kính AB => ΔANB vuông tại N => ∠ANB= 90 độ

Xét ΔMNB vuông tại N => ΔMNB nt đường tròn đường kính MB

Xét ΔMHB vuông tại H => ΔMHB nt đường tròn đường kính MB

=> M, H,N,B thuộc đường tròn đướng kính MB

b, Xét (O), dây CD, OA ⊥ CD tại H

=> H là trung điểm CD

Có OA ⊥ CD tại trung điểm H => OA là trung trực của CD

=> AC = AD

=> cung AC= cung AD

Xét (O) có ∠CNA = ∠ ACD (2 góc nội tiếp chắn cung AC, cung AD bằng nhau)

Xét ΔAMC và ΔACN có

Chung ∠CAN

∠ACM = ∠ CNA

=> ΔAMC ~ ΔACN (g.g)

=> AC/ AN= AM/ AC => AC^2= AM. AN

c, Có ∠CNM= 1/2 sđ cung CM

Mà ∠CNM= ∠ACM (Câu b)

=> ∠ACM= 1/2 sđ cung CM

Xét đường tròn ngoại tiếp ΔCMN có ∠ACM= 1/2 sđ cung CM, cùng CM nằm trong ∠ACM

=> AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔCMN

d, Gọi P là trung điểm AC

Vì A, C cố định => P cố định

Gọi K là trọng tâm ΔOCA

Vì O, C, A cố định => ΔOCA cố định => K cố định

Xét ΔOCA có K là trọng tâm 

=> PK= 1/3 OP

Xét ΔACN có G là trọng tâm

=> GP= 1/3 PN

Xét ΔOPN có GP/PN= PK/OP (=1/3); K ∈ OP, G ∈ PN

=> KG// ON (Talet đảo)

Xét ΔOPN có KG//ON; K ∈ OP, G ∈ PN

=> KG/ON= PK/OP = 1/3

=> KG= 1/3. ON= R/3

=> G ∈ (K; R/3)