Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE, BF\perp AF$

$\to AE\perp BG, BF\perp AG$

Mà $AE\cap BF=I\to I$ là trực tâm $\Delta ABG\to IG\perp AB$

Mà $AB\perp AC\to IG//AC$

b.Xét $\Delta GEA,\Delta GFB$ có:

Chung $\hat G$
$\widehat{GEA}=\widehat{GFB}=90^o$

$\to\Delta GEA\sim\Delta GFB(g.g)$

$\to \dfrac{GE}{GF}=\dfrac{GA}{GB}$

$\to GE.GB=GF.GA$

c.Ta có:

$\widehat{IFG}=\widehat{IEG}=90^o\to IEGF$ nội tiếp đường tròn đường kính $IG$

$\to \widehat{IFE}=\widehat{IGE}$

d.Ta có $O,D$ là trung điểm $AB,AC\to OD$ là đường trung bình $\Delta ABC\to OD//BC$

Mà $AE\perp CB\to OD\perp AE$

$\to OD$ là trung trực của $AE$

$\to\widehat{DEO}=\widehat{DAO}=90^o$

$\to DE$ là tiếp tuyến của $(O)$

e.Ta có $B,I,D$ thẳng hàng và $B\in CE, I\in AE, D\in AC$

$\to \dfrac{BC}{BE}.\dfrac{IE}{IA}.\dfrac{DA}{DC}=1$(định lý Menelauyts)

$\to \dfrac{BE}{BC}=\dfrac{IE}{IA}$ vì $DA=DC$

Lại có $IG//AC\to \dfrac{GE}{GC}=\dfrac{IE}{IA}$

$\to \dfrac{BE}{BC}=\dfrac{GE}{GC}$

f.Ta có $A,H,G$ thẳng hàng, $A\in DC, H\in DE, G\in CE$

$\to \dfrac{AC}{AD}.\dfrac{HD}{HE}.\dfrac{GE}{GC}=1$(định lý Menelauyts)

$\to 2.1.\dfrac{GE}{GC}=1$ vì $H,D$ là trung điểm $DE, AC$

$\to \dfrac{GE}{GC}=\dfrac12$

$\to \dfrac{BE}{BC}=\dfrac12$

$\to BE=\dfrac12BC$

Mà $AE\perp BC$

$\to BA^2=BE.BC=\dfrac12BC^2$

$\to AB=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}$

$\to \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

a) Xét (O) có 

ΔDBC nội tiếp đường tròn(D,B,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔDBC vuông tại D(Định lí)

⇒CD⊥BD tại D

⇒CD⊥AB tại D

⇒HD⊥AD tại D

Xét ΔADH có HD⊥AD tại D(cmt)

nên ΔADH vuông tại D(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔADH vuông tại D(cmt)

mà DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)

nên DI=AH2DI=AH2(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

⇒BE⊥CE tại E

⇒BE⊥AC tại E

⇒HE⊥AE tại E

Xét ΔAEH có AE⊥EH tại E(cmt)

nên ΔAEH vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔAEH vuông tại E(cmt)

mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)

nên EI=AH2EI=AH2(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ID=IE

hay I nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OD=OE(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của DE

hay OI⊥DE(đpcm)

CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!