Giải thích các bước giải:

a.Ta có $OM\perp AB, ON\perp AC, AH\perp BC$

$\to\widehat{AMO}=\widehat{AHO}=\widehat{ANO}=90^o$

$\to A,M,H,O,N\in$ đường tròn đường kính $AO$

b.Ta có $AO$ là phân giác $\widehat{BAC}, OM\perp AB, ON\perp AC\to OM=ON$

$\to AM^2=AO^2-OM^2=AO^2-ON^2=AN^2\to AM=AN$

Mà $ A,M,H,O,N\in$ đường tròn đường kính $AO$

$\to \widehat{MHA}=\widehat{AHN}$

$\to HA$ là phân giác $\widehat{MHN}$

c.Ta có:

$\widehat{KNO}=\widehat{MNO}=\widehat{MAO}=\widehat{OAN}=\widehat{OAC}$

$\widehat{KON}=90^o-\widehat{NOC}=\widehat{NCO}=\widehat{ACO}$
$\to\Delta NKO\sim\Delta AOC(g.g)$

$\to \dfrac{NK}{AO}=\dfrac{NO}{AC}$

$\to KN.AC=AO.NO$

Tương tự $KM.AB=AO.MO$

Mà $MO=NO$

$\to KN.AC=KM.AB$

d.Qua $K$ kẻ $DE//CB$

$\to DE\perp OK$ vì $OK\perp BC$

$\to \widehat{DKO}=\widehat{DMO}=90^o,\widehat{OKE}=\widehat{ONE}=90^o$

$\to OKDM, OKNE$ nội tiếp

$\to \widehat{ODK}=\widehat{OMK}=\widehat{OMN}=\widehat{ONM}=\widehat{ONK}=\widehat{OEK}$

$\to \Delta ODE$ cân tại $O$

Mà $OK\perp DE\to K$ là trung điểm $DE$

Ta có $D\in Ab, E\in AC, DE//BC, K,I$ là trung điểm $DE, CB$

$\to A,K,I$ thẳng hàng