Bạn thi hsg nên mình sẽ gợi ý  cách làm như sau:

a)

$BFEC$ nội tiếp có $EF$ cắt $BC$ tại $K$

$\to KB.KC=KF.KE$

$ALBC$ nội tiếp có $AL$ cắt $BC$ tại $K$

$\to KB.KC=KL.KA$

$\to KF.KE=KL.KA$

$\to ALFE$ nội tiếp

Mặt khác $AFHE$ cũng nội tiếp

Nên ngũ giác $ALFHE$ nội tiếp được đường tròn

$\to \widehat{ALH}=\widehat{AFH}=90{}^\circ $

$\to HL\bot AK$

b)

Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $D$

$\to AD\bot BC$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

Bạn thi hsg nên chắc sẽ biết một bài toán quen thuộc đó là chứng minh $MDFE$ là tứ giác nội tiếp

$MDFE$ nội tiếp có $FE$ cắt $DM$ tại $K$

$\to KF.KE=KD.KM$

$\to KL.KA=KD.KM$

$\to ALDM$ nội tiếp

$\to \widehat{ALM}=\widehat{ADM}=90{}^\circ $

$\to ML\bot AK$

Mà $HL\bot AK$

$\to M,H,L$ thẳng hàng

$\to HL$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$

c)

Theo hệ thức lượng trong $\Delta ATB$, ta có:

$A{{T}^{2}}=AF.AB$

mà $AF.AB=AE.AC$

nên $A{{T}^{2}}=AE.AC$

$\to AT$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CET$

Mặt khác,

$EFBC$ nội tiếp $\to \widehat{KFB}=\widehat{ACB}$

$ALBC$ nội tiếp $\to \widehat{KLB}=\widehat{ACB}$

$\to \widehat{KFB}=\widehat{KLB}$

$\to KLFB$ nội tiếp

Có $KL$ cắt $BF$ tại $A$

$\to AF.AB=AL.AK$

$\to A{{T}^{2}}=AL.AK$

$\to AT$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta KLT$

$\to AT$ là tiếp tuyến chung hai đường tròn

$\to $ hai đường tròn tiếp xúc với nhau 

Giải thích các bước giải:

Ta có: $BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{KBF}=\widehat{KEC},\widehat{KFB}=\widehat{KCE}$

$\to\Delta K BF\sim\Delta KEC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KE}=\dfrac{KF}{CK}$

$\to KE.KF=KB.KC$

Tương tự do $ALBC$ nội tiếp $(O), AL\cap BC=K$

$\to KL.KA=KB.KC$

$\to KL.KA=KE.KF$

$\to \dfrac{KL}{KE}=\dfrac{KF}{KA}$

Mà $\widehat{LKF}=\widehat{AKE}$

$\to \Delta KLF\sim\Delta KEA(c.g.c)$

$\to\widehat{KLF}=\widehat{AEK}$

$\to ELFE$ nội tiếp

Mà $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to A,L,E,H,F\in$ đường tròn đường kính $AH$

$\to \widehat{ALH}=90^o\to HL\perp AK$