a)

$\Delta ACE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính

$\to \widehat{ACE}=90{}^\circ $

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEC$, ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{AEC}$  ( cùng chắn $\overset\frown{AC}$ trong tứ giác $ABEC$ nội tiếp $\left( O \right)$ )

$\widehat{ADB}=\widehat{ACE}=90{}^\circ $

$\to \Delta ABD\sim \Delta AEC\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to \dfrac{AB.AC}{AD}=AE$

Mà $AE=2R$ ( vì $AE$ là đường kính )

Vậy $\dfrac{AB.AC}{AD}=2R$

b)

Vì $\Delta ABD\sim \Delta AEC$ ( cmt )

$\to \widehat{BAD}=\widehat{EAC}$

$\to \widehat{BAD}+\widehat{DAE}\,=\,\widehat{EAC}+\widehat{DAE}$

$\to \widehat{BAE}\,=\,\widehat{CAD}\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác, ta có:

$BE=CF$ ( gt )

$\to\overset\frown{BE}=\overset\frown{CF}$

$\to \widehat{BAE}=\widehat{CAF}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có được:

$\widehat{CAD}=\widehat{CAF}$

$\to AD\equiv AF$

$\to $ ba điểm $A,D,F$ thẳng hàng

$\Delta AFE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính

$\to \Delta AFE$ vuông tại $F$

$\to AF\bot FE$

$\to AD\bot FE$

Mà $AD\bot BC$

Nên $BC\,\,||\,\,FE$

$\to BCEF$ là hình thang:

Có $BE=CF$ ( gt )

Vậy $BCEF$ là hình thang cân

a. 

+ Ta có: $\widehat{ABD} = \widehat{AEC}$ (cùng chắn $\widehat{AC}$).

$⇒ ∆ABD ᔕ ∆AEC$ (g.g).

$⇒ \frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}$

$⇒ \frac{AB.AC}{AD} = AE = 2R$.

b. 

+ Ta có: $BE = CF$.

$⇒ \widehat{ECB} = \widehat{FBC}$.

+ Mà: $\widehat{BFC} = \widehat{CEB}$.

$⇒ ∆ECB ᔕ ∆FBC$ (g.g).

$⇒ ∆ECB = FBC$ (cạnh chung $BC$).

$⇒ BF = CE$.

$⇒ BFCE$ là hình thang cân.

$⇒ \widehat{BAF} = $\widehat{EAC}$.

$⇒ \widehat{BAF} = \widehat{BAD}$.

$⇒ A$, $D$, $F$ thẳng hàng.

XIN HAY NHẤT 

CHÚC EM HỌC TỐT