Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`a,`

Ta có:

`\hat{B1}=\hat{B2}(` đối đỉnh `)`

`\hat{C1}=\hat{C2}(` đối đỉnh `)`

Mà `\hat{B1}=\hat{C1}(ΔABC` cân tại `A)`

`⇒\hat{B2}=\hat{C2}`

Xét `2Δ` vuông `BHD` và `CKE` có:

`BD=CE`$(gt)$

`\hat{B2}=\hat{C2}(cmt)`

`⇒ΔBHD=ΔCKE(c.h-g.n)`

`⇒BH=CK(2` cạnh tương ứng `)`

`b,`

Ta có:

`\hat{B1}+\hat{B3}=180^0(` kề bù `)`

`⇒\hat{B3}=180^0-\hat{B1} (1)`

Lại có:

`\hat{C1}+\hat{C3}=180^0(` kề bù `)`

`⇒\hat{C3}=180^0-\hat{C1} (2)`

Mà `\hat{B1}=\hat{C1}(cmt)`

Từ `(1)` và `(2) ⇒\hat{B3}=\hat{C3}`

Xét `ΔABH` và `ΔACK` có:

`AB=AC(ΔABC` cân tại `A)`

`\hat{B3}=\hat{C3}(cmt)`

`HB=CK(cmt)`

`⇒ΔABH=ΔACK(c.g.c)`

`⇒\hat{AHB}=\hat{AKC}(2` góc tương ứng `)`

`c,`

Vì `ΔABC` cân tại `A` nên

`⇒\hat{B1}=(180^0-\hat{A})/2 (3)`

Có `AB=AC(cmt)`

`BD=CE(ΔBHD=ΔCKE)`

`⇒AB+BD=AC+CE`

`⇒AD=AE`

`⇒ΔADE` cân tại `A`

`⇒\hat{D1}=(180^0-\hat{A})/2 (4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒\hat{B1}=\hat{D1}`

Mà `2` góc này ở vị trí đồng vị

`⇒HK`  //  `DE`

`d,`

Ta có:

`DH⊥BC`$(gt)$

`EK⊥BC`$(gt)$

`⇒DH`   //   `EK`

Mà `HK`    //    `DE(cmt)`

`⇒HKDE` là hình chữ nhật

`⇒DI=1/2 DK; EI=1/2 HE` (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Lại có: `DK=HE` (hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau)

`⇒DI=EI`

Xét `ΔADI` và `ΔAEI` có:

`AD=AE(cmt)`

`DI=EI(cmt)`

Cạnh `AI` chung

`⇒ΔADI=ΔAEI(c.c.c)`

`⇒\hat{A1}=\hat{A2}(2` góc tương ứng `)`

`⇒AI` là tia phân giác của `\hat{A}`

Mà `ΔADE` cân tại `A(cmt)`

`⇒AI` đồng thời là đường trung trực của `ΔADE`

`⇒AI` là đường trung trực của `DE(đpcm)`