$a)AB=\dfrac{CD}{2}=DM$

Mà $AB//DM$

$\Rightarrow ABMD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AD=BM$

Mà $AD=AB=DM$

$\Rightarrow ABMD$ là hình thoi

$b)AB=\dfrac{CD}{2}=CM$

Mà $AB//CM$

$\Rightarrow ABCM$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM//BC(1)$

$ABMD$ là hình thoi

$\Rightarrow AM \perp BD(2)\\ (1)(2)\Rightarrow BD \perp BC$

$c)ABCD$ là hình thang cân

$\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

$\Rightarrow \Delta ICD$ cân tại $I$

$\Rightarrow IC=ID$

Mà $AD=BC(ABCD$ là hình thang cân$)$

$\Rightarrow IA=IB(3)$

$ABCM$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM=BC$

$ABCM$ là hình bình hành

Mà $AD=BM;AD=BC$

$\Rightarrow AM=BM(4)$

$(3)(4)\Rightarrow IM$ là trung trực $AB$

$\Rightarrow IM$ đi qua trung điểm $AB$

$d)BC=AC=4(cm)$

Kẻ $AE \perp CD$

$\Delta ADM$ đều$(AD=DM=AM)$ có $AE \perp DM$

$\Rightarrow AE$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow E$ là trung điểm $DM$

$DE=\dfrac{1}{2}DM=\dfrac{1}{2}AD=2\\ AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=2\sqrt{3}\\ S_{ABCD}=\dfrac{AE(AB+CD)}{2}=12\sqrt{3}$