Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CD=2AB$

            $M$ là trung điểm $CD$

$\to 2DM=CD=2AB\to DM=AB$

Mà $AB//CD\to AB//DM\to ABMD$ là hình bình hành

Lại có $2AB=2AD\to AB=AD$

$\to ABMD$ là hình thoi

b.Ta có $M$ là trung điểm $CD\to MC=MD=AB$

Mà $AB//CD\to AB//MC$

$\to ABCM$ là hình bình hành

$\to AM//BC$

Lại có $ABMD$ là hình thoi

$\to AM\perp BD\to BD\perp BC$

c. GỌi $IM\cap AB=E$

Ta có $AB//CD$

$\to \dfrac{AE}{DM}=\dfrac{IE}{IM}=\dfrac{BE}{CM}$

$\to AE=EB$ vì $MD=MC$ 

$\to E$ là trung điểm $AB$

$\to IM$ đi qua trung điểm $AB$

d.Ta có $AB=4\to AD=AB=4, CD=2AB=8$

Lại có $ABCD$ là hình thang cân $\to BC=AD=AB=4$

Ta có $ABCM$ là hình bình hành

$\to AM=BC=AD=DM$

$\to ADM$ tam giác đều cạnh $4$

$\to MA=AB=BM=BC=CM$ cạnh $4$

$\to\Delta ABM,\Delta BMC$ đều cạnh $4$

$\to S_{ABCD}=S_{AMD}+S_{MAB}+S_{BMC}$

$\to S_{ABCD}=\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{4^2\sqrt{3}}{4}$

$\to S_{ABCD}=12\sqrt{3}$