Giải thích các bước giải:

Bài 4:

a.Ta có $AD=AH, D\in$ tia đối của tia $AH$

$\to A$ là trung điểm $DH$

Mà $E$ là trung điểm $HC, AC\cap DE=F$

$\to F$ là trọng tâm $\Delta HCD$

Vì $M$ là trung điểm $DC\to HF\cap CD=M$

$\to H,F,M$ thẳng hàng

b.Trên tia đối của tia $MH$ lấy điểm $K$ sao cho $MK=MH$

Xét $\Delta DMK,\Delta CMH$ có:

$MD=MC$ vì $M$ là trung điểm $CD$

$\widehat{DMK}=\widehat{HMC}$

$MK=MH$

$\to\Delta MDK\sim\Delta MCH(c.g.c)$

$\to DK=CH,\widehat{MDK}=\widehat{MCH}\to DK//CH$

Lại có $AH\perp BC\to DH\perp HC\to DK\perp DH$

$\to HK^2=DK^2+DH^2=CH^2+DH^2=DC^2$

$\to MH+MK=MD+MC$

$\to 2MH=CD$

$\to \dfrac23MH=\dfrac13CD$

Lại có $F$ là trọng tâm $\Delta DHC$

$\to FH=\dfrac23HM=\dfrac13DC$

c.Ta có $AH\perp BC\to AH\perp BE, EP\perp AB$

$\to P$ là trực tâm $\Delta ABE\to BP\perp AE$

Trên tia đối của tia $EA$ lấy điểm $I$ sao cho $EI=EA$

Xét $\Delta EAH,\Delta EIC$ có:

$EA=EI$

$\widehat{AEH}=\widehat{CEI}$

$EH=EC$
$\to\Delta AHE=\Delta ICE(c.g.c)$

$\to \widehat{ECI}=\widehat{EHA}\to CI//AH\to CI//AD$

Mặt khác $CI=AH=AD$

Xét $\Delta DAC,\Delta ICA$ có:

Chung $CA$

$\widehat{DAC}=\widehat{ACI}$ vì $CI//AD$

$AD=CI$

$\to\Delta DAC=\Delta ICA(c.g.c)$

$\to \widehat{DCA}=\widehat{CAI}$

$\to CD//AI$

$\to CD//AE$

Lại có $BP\perp AE\to BP\perp AC$

Ta có $AH\perp BC\to DH\perp BC$

Mà $P\in DH$

$\to P$ là trực tâm $\Delta DBC\to CP\perp BD$

Câu 5:

Ta có:

$A=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}$

$\to A=\dfrac{2-1}{1.2}+\dfrac{4-3}{3.4}+\dfrac{6-5}{5.6}+...+\dfrac{100-99}{99.100}$

$\to A=\dfrac11-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-\dfrac16+...+\dfrac1{99}-\dfrac1{100}$

$\to A=(\dfrac11+\dfrac13+\dfrac15+...+\dfrac1{99})-(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac16+...+\dfrac1{100})$

$\to A=(\dfrac11+\dfrac13+\dfrac15+...+\dfrac1{99}+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac16+...+\dfrac1{100})-2(\dfrac12+\dfrac14+\dfrac16+...+\dfrac1{100})$

$\to A=(1+\dfrac12+\dfrac13+...+\dfrac1{100})-(1+\dfrac12+\dfrac13+...+\dfrac1{50})$

$\to A=\dfrac1{51}+\dfrac1{52}+...+\dfrac1{100}$

$\to A=(\dfrac{1}{51}+\dfrac1{52}+...+\dfrac1{75})+(\dfrac{1}{76}+...+\dfrac1{100})$

$\to A<(\dfrac{1}{50}+\dfrac1{50}+...+\dfrac1{50})+(\dfrac{1}{75}+...+\dfrac1{75})$

$\to A<\dfrac{25}{50}+\dfrac{25}{75}$

$\to A<\dfrac12+\dfrac13$

$\to A<\dfrac56$

Mặt khác:
$A=(\dfrac1{51}+\dfrac1{52}+...+\dfrac1{75})+..+(\dfrac1{76}+...+\dfrac1{100})$

$\to A>(\dfrac1{75}+\dfrac1{75}+...+\dfrac1{75})+..+(\dfrac1{100}+...+\dfrac1{100})$

$\to A>\dfrac{25}{75}+\dfrac{25}{100}$

$\to A>\dfrac13+\dfrac14$

$\to A>\dfrac7{12}$