`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$ (gt)

`=>AC`$\perp AB$

`=>AC`$\perp AE$

`=>\hat{EAC}=90°`

$BM\perp CD$ tại $D$

`=>BD`$\perp ED$

`=>\hat{EDB}=90°`

+) Xét $∆EAC$ và $∆EDB$ có:

`\hat{E}` chung

`\hat{EAC}=\hat{EDB}=90°`

`=>∆EAC∽∆EDB`(g-g)

`=>{EA}/{ED}={EC}/{EB}`

`=>EA.EB=ED.EC` (đpcm)

`=>{EA}/{EC}={ED}/{EB}`

$\\$

+) Xét $∆EAD$ và $∆ECB$ có:

`\hat{E}` chung

`{EA}/{EC}={ED}/{EB}` (c/m trên)

`=>∆EAD∽∆ECB` (c-g-c)

`=>\hat{EAD}=\hat{ECB}` (đpcm)

$\\$

`b)` 

+) Xét $∆ABM$ và $∆DBE$ có:

`\hat{B}` chung

`\hat{BAM}=\hat{BDE}=90°`

`=>∆ABM∽∆DBE`(g-g)

`=>{BM}/{BE}={AB}/{DB}` 

`=>BM.DB=AB.BE` 

Từ câu a ta có: 

`ED.EC=EA.EB`

`=>BM.DB+ED.EC=AB.BE+EA.EB`

`=BE.(AB+EA)=BE.BE=BE^2`

Vậy $BE^2=BM.BD+ED.EC$ (đpcm)

$\\$

`c)` 

+) $∆BDH$ có $P;Q$ lần lượt là trung điểm của $BH;DH$

`=>PQ` là đường trung bình của $∆BDH$

`=>PQ`//$BD$

Mà $BD\perp CD$

`=>PQ`$\perp CD$

+) Xét $∆CDP$ có:

$PQ\perp CD$

$DH\perp PC$

$DH$ và $PQ$ cắt nhau tại $Q$

`=>Q` là trực tâm $∆CDP$

`=>CQ`$\perp DP$

+) Xét $∆QHC$ và $∆PHD$ có:

`\hat{QHC}=\hat{PHD}=90°`

`\hat{QCH}=\hat{PDH}` (cùng phụ `\hat{DPH}`)

`=>∆QHC∽∆PHD`(g-g) (đpcm)